¿Dónde se utiliza realmente el axioma de regularidad?

Question

¿Dónde se utiliza realmente el axioma de regularidad? ¿Por qué es importante? ¿Existen algunas pruebas que sean sustancialmente más sencillas gracias a este axioma?

Esta pregunta fue provocada en cierta medida por Dan Christensen 's comentario : ¿Se utilizaría alguna vez la regularidad en un desarrollo formal de, por ejemplo, la teoría de números o el análisis real? No me lo imagino.

Tengo que admitir que no conozco otro uso de este axioma que la demostración de que todo conjunto tiene rango en jerarquía acumulativa, y algunas consecuencias fáciles de este axioma, que se mencionan en Artículo de Wikipedia .

Recuerdo haber visto un libro de introducción a la teoría axiomática de conjuntos que ni siquiera mencionaba este axioma. (Y ese libro pasaba por muchas cosas, como introducir ordinales, inducción transfinita, construcción de números naturales).

Artículo de Wikipedia en Teoría de conjuntos no bien fundada enlaces a la página de Metamath para Axioma de regularidad y dice: Desplácese hasta el final para ver cuán pocos teoremas de Metamath invocan este axioma.

Basándonos en lo anterior, parece que se pueden hacer bastantes cosas sin este axioma.

Por supuesto, es muy posible que este axioma sea importante en algunas áreas de la teoría de conjuntos que no me son familiares, como forzar o trabajar sin Axioma de Elección. (Podría ser difícil definir la cardinalidad sin AC y regularidad, como se ha mencionado aquí .) Pero incluso si este axioma sólo es importante para algunas cosas avanzadas -a las que probablemente nunca llegaré- me alegraría saberlo.

Answer 1

Básico matemáticas se hacía mucho antes de la teoría de conjuntos. A sus usuarios no podría importarles menos si ZF es o no la teoría subyacente del universo o alguna otra teoría. Mientras funcione bien.

Hay algunas cosas que señalar:

1. Los números naturales (modelo estándar de PA), sobre los que se desarrolla la teoría clásica de números, están bien ordenados independientemente de su construcción. Al fin y al cabo, ésta es una de sus propiedades definitorias. Por lo tanto, todas las inducciones que utilizamos en ellos se mantienen independientemente de si la regularidad se mantiene o no en general.

2. El análisis clásico puede desarrollarse, de nuevo, sin que se mantenga la regularidad. La mayoría de los teoremas básicos (es decir, el cálculo de primer curso) son teoremas sobre funciones continuas o secuencias de números reales.

3. Aunque falle el axioma de regularidad, sigue siendo válido en un modelo interior (siempre que se cumplan los demás axiomas de ZF). Por lo tanto, incluso sin regularidad, podemos insistir en trabajar con conjuntos para los que la regularidad es válida.

La idea principal de tener la teoría de conjuntos como teoría fundamental es que podemos realizar las construcciones "no teóricas de conjuntos" como conjuntos. Hay, al menos en el nivel básico de las matemáticas, poca o ninguna interacción entre las matemáticas y las teorías fundamentales. Esta es la misma razón por la que no vemos pruebas asumiendo CH durante nuestros primeros dos-tres años de matemáticas, estas suposiciones aunque interesantes son irrelevantes para las matemáticas básicas.

Dentro de la teoría de conjuntos, la función de rango y el colapso de Mostowski ya son razón suficiente para suponerlo, y se utilizan mucho.

Answer 2

He aquí un ejemplo interesante (en mi opinión). Seguro que conoces la interpretación teórica de conjuntos de pares ordenados dada por $(x,y) = \{ \{ x \}, \{ x, y \} \}$ . Quizás se pregunte por qué no utilizar $(x,y) = \{ x, \{ x, y\}\}$ ?

Podemos... si asumimos cierto grado de regularidad. Si existe un conjunto $S$ satisfaciendo $S = \{ \{S, T\}, U \}$ con $T \neq U$ entonces tendríamos

$$ (S, T) = \{ S, \{ S, T \} \} = \{ \{ \{ S, T \}, U \}, \{ S, T \} \} = ( \{ S, T \}, U ) $$

lo que contradice la propiedad de los pares ordenados $(S, T) = (X, Y) \implies S = X \wedge T = Y$ sin embargo la regularidad prohíbe la existencia de tal conjunto $S$ .