El Noether-Deuring Teorema De

Question

Tengo que resolver el siguiente ejercicio tomado del libro "Introducción a la Teoría de la Representación" del P. Etingof, O. Golberg, S. Hensel, T. Liu, A. Schwendner, D. Vaintrob, E. Yudovina y S. Gerovitch:

Problema 3.8.4

1. Deje $V,W$ ser finito representaciones tridimensionales de un álgebra $A$ a través de una no necesariamente campo cerrado $k$. Deje $k\hookrightarrow l$ ser una extensión de campo y asumir que $V\otimes_{k}l\cong W\otimes_{k}l$ como módulos a través de la $l$-álgebra $A\otimes_{k}l$. A continuación, $V\cong W$ $A$- módulos.
2. (El Noether-Deuring teorema), En el marco de (1), supongamos que $W\otimes_{k}l\cong Y\oplus(V\otimes_{k}l)$ algunos $A\otimes_{k}l$-módulo de $Y$. A continuación, $V$ es un sumando directo en $W$, es decir, $W\cong V\oplus Z$ (supongo: como $A$-módulos, ¿qué más? - eso no es más explícito).

El ejercicio no es parte de la versión en línea, a menos que haya supervisado.

Lo que he logrado hasta ahora? El libro dio el siguiente consejo en (1):

Reducir para el caso de finitely generado, entonces, finito de extensión, de cierto grado $n$. Entonces lo que respecta $V\otimes_{k}l$ $W\otimes_{k}l$ $A$- módulos, y demostrar que son isomorfos a $V^{n}$ $W^{n}$ respectivamente. Deducir que $V^{n}\cong W^{n}$, y el uso de los Krull-Schmidt teorema (válida en cualquier campo por el Problema 3.8.3) para deducir que $V\cong W$.

He logrado demostrar que - creo - para el caso de $[l:k]=n$ y que si la declaración se aplica a todos los finitely generado extensiones de entonces se mantiene para todas las extensiones. La primera parte fue probada por dar un explícito isomorfismo de $A$-módulos de entre $V^{n}$$W^{n}$. Esto se dedujo a partir de: $$M\otimes_{k}\bigg(\bigoplus_{i\in I}N_{i}\bigg)\cong\bigoplus_{i\in I}\big(M\otimes_{k}N_{i}\big)\quad\text{as $k$ vector spaces}$$ siempre que $M,\{N_{i};i\in I\}$ son espacios vectoriales sobre $k$. Para la segunda parte tenía que confiar en una (en retrospectiva obvio) sugerencia de mi profesor: vamos a $\Phi:V\otimes_{k}l\to W\otimes_{k}l$ $l$ vector spave isomorfismo inducida por el módulo de isomorfismo supone, podemos elegir las bases de $\{v_{i}\}$$\{w_{j}\}$$V,W$, respectivamente, para obtener bases de $V\otimes_{k}l$ $W\otimes_{k}l$ observando el simple tensores $\{v_{i}\otimes 1\}$$\{w_{j}\otimes 1\}$. Deje $M$ ser la representación de la matriz de la isomorfismo con respecto a estas bases y deje $m$ a ser el campo de extensión de $k$ generado por las entradas de $M$. Entonces la restricción de $\Phi$ es un isomorfismo $V\otimes_{k}m\to W\otimes_{k}m$, por lo que si la instrucción tiene por finitely generado extensiones, entonces que tiene de arbitrario extensiones. Así que termino con lo siguiente:

Pregunta 1: Dado que el $k\hookrightarrow l$ es finitely generado y para todas las extensiones finitas de grado de la declaración (1) se mantiene, ¿cómo puedo deducir que para $k\hookrightarrow l$.

Para la parte (2): aquí me puede decir sólo lo he probado. Primero de todo lo que se utilizan los Krull-Schmidt teorema y el hecho de que el tensor de productos de distribuir a través de productos directos para escribir $W\otimes_{k}l$ en dos formas diferentes: $$W\otimes_{k}l\cong\bigoplus_{i=1}^{s}n_{i}\hat{W_{i}}\text{ and }W\otimes_{k}l\cong\bigoplus_{j=1}^{t}m_{j}(W_{j}\otimes_{k}l)$$ donde el $\hat{W_{i}}$ fueron irreductible sumandos de la $A\otimes_{k}l$-módulo de $W\otimes_{k}l$ e las $W_{j}$ eran irreductibles a las representaciones de la $A$-módulo de $W$. Entonces yo quería mostrar que, de hecho, el siguiente se tiene:

$W$ es un finito dimensionales, indecomposable representación de la $l$-álgebra $A\otimes_{k}l$ si y sólo si existe un número finito de dimensiones, indecomposable representación $V$ de la $k$-álgebra $A$ tal que $W\cong V\otimes_{k}l$.

A partir de esto se habría seguido que los sumandos de acuerdo a la permutación. Por desgracia, esto no es cierto si $k$ no es algebraicamente cerrado. Yo también considera la descomposición de la $W\otimes_{k}l$ como finito dimensionales representación de $A$ pero supongo que esta no es el caso como $k\hookrightarrow l$ no es necesariamente finito de grado. La siguiente cosa a tener en cuenta fue a tomar el cociente con $Y$ a fin de terminar con un isomorfismo como (1). Así que existe la siguiente pregunta:

Pregunta 2: Deje $W,V$ ser finito-dimensional $A$-módulos, donde $A$ $k$- álgebra y deje $k\hookrightarrow l$ ser una extensión de campo. Deje $\Phi:W\otimes_{k}l\twoheadrightarrow V\otimes_{k}l$ ser un módulo homomorphism. Podemos deducir que $\operatorname{ker}\Phi\cong U\otimes_{k}l$ donde $U$ es un submódulo de $W$?

Y por último:

Pregunta 3: ¿Estoy en el camino equivocado? He supervisado algo muy simple? Soy un completo idiota?

Por supuesto, las sugerencias son muy apreciados.

Answer 1

a la Pregunta 3. Permítanme esbozar una solución para el ejercicio de que se eludan sus problemas con infinito campo de extensiones. No va a ser un buen argumento, pero, de nuevo Noether-Deuring es una técnica lema para empezar, y en mi humilde opinión debe ser evitado siempre que sea posible.

La parte 1 del ejercicio fácilmente de la siguiente manera desde la Parte 2, debido a que la Parte 2 se muestra que cada uno de $V$ $W$ es un sumando directo de la otra, y por lo tanto $V\cong W$ (porque los milagros no suceden en dimensiones finitas). Así que sólo voy a responder a la Parte 2.

Caso 1: El campo de extensión de la $l/k$ es finito. Deje $n=\left[l:k\right]$. A continuación, $V\otimes_k l\cong V^n$ $W\otimes_k l\cong W^n$ $A$- módulos, como se demostró. Por lo tanto, como $A$-módulos, $W^n \cong W\otimes_k l \cong Y \oplus \left(V\otimes_k l\right) \cong Y\oplus V^n$.

Ahora, vamos a escribir cada uno de $V$, $W$ y $Y$ como una suma directa de indecomposable $A$-módulos. Para cada indecomposable $A$-módulo de $I$, vamos a $r_I\left(V\right)$ ser el número de veces que $I$ aparece en la descomposición de la $V$, vamos a $r_I\left(W\right)$ ser el número de veces que $I$ aparece en la descomposición de la $W$, y deje $r_I\left(Y\right)$ ser el número de veces que $I$ aparece en la descomposición de la $Y$. Estos tres números están bien definidos debido a que no dependen de la elección de descomposición (desde el Krull-Schmidt teorema dice que en cualquier descomposición de un número finito de dimensiones módulo en indecomposables, el conjunto múltiple de las clases de isomorfismo de la indecomposables involucrados no depende de la elección de la descomposición). Si podemos demostrar que $r_I\left(V\right) \leq r_I\left(W\right)$ por cada indecomposable $I$, entonces llegamos a la conclusión de que $V$ es un sumando directo de $W$ $A$- módulo (porque el indecomposables en la descomposición de la $V$ todos aparecen en la descomposición de la $W$ al menos tan a menudo), por lo que se hace (en el Caso 1, al menos).

Para demostrar que $r_I\left(V\right) \leq r_I\left(W\right)$ por cada $I$, nos damos cuenta de que todos los $I$ satisface

$n\cdot r_I\left(W\right) = r_I\left(W^n\right) = r_I \left(Y \oplus V^n\right)$ (desde $W^n\cong Y\oplus V^n$) $= r_I\left(Y\right) + r_I\left(V^n\right) \geq r_I\left(V^n\right) = nr_I\left(V\right)$

y por lo tanto $ r_I\left(W\right) \geq r_I\left(V\right)$. Esto resuelve la Parte 2 del ejercicio en el Caso 2.

Caso 2: El caso general.

Estamos buscando dos $A$-módulo homomorphisms $i:V\to W$ $p:W\to V$ satisfacción $p\circ i=\mathrm{id}$. (De hecho, si podemos encontrar tal $i$$p$, entonces se hace evidente que el $V$ es un sumando directo de $W$ $A$- módulo). Desde $V$ $W$ son finito-dimensional, podemos identificar el $k$-espacios vectoriales $V$ $W$ $k^n$ $k^m$ para algunos de los números enteros no negativos $n$$m$, y, a continuación, $k$- lineal mapas de $V\to W$ puede ser identificado con $m\times n$-matrices de más de $k$, mientras que $k$-lineal mapas de $W\to V$ puede ser identificado con $n\times m$-matrices de más de $k$. Las condiciones que los dos mapas de $i$ $p$ $A$- módulo homomorphisms se traducen en un sistema de restricciones lineales en las entradas de estas dos matrices; y, por supuesto, podemos WLOG supongamos que hay sólo un número finito de restricciones (porque hay sólo un número finito de entradas, por lo que si hay infinitamente muchos obstáculos que puede tirar casi todos ellos por la redundancia). La ecuación de $p\circ i=\mathrm{id}$ se traduce en un sistema de ecuaciones polinómicas para las entradas de estas dos matrices. Por lo que estamos buscando $mn+nm=2nm$ elementos de $k$ que satisfacer ciertos lineal y ciertas ecuaciones polinómicas. Puesto que las ecuaciones lineales son también polinomio, lo que estamos buscando es, sencillamente, una solución para un sistema fijo de un número finito de ecuaciones polinómicas $k$ en un número finito de indeterminates.

Sin embargo, debido a que sabemos que $V\otimes_k l$ es un sumando directo de la $A\otimes_k l$-módulo de $W\otimes_k l$, sabemos que este tipo de solución puede ser encontrar más de $l$ (porque tensoring con $l$ significa la ampliación de escalares a $l$).

Ahora, un hecho general de la geometría algebraica dice que

(*) si $l/k$ es una extensión de campo, y algún sistema de un número finito de ecuaciones polinómicas $k$ en un número finito de indeterminates tiene una solución a través de $l$, entonces existe un finito de extensión de campo $m$ $k$ tal que este sistema tiene una solución a través de $m$.

Aplicando esto a nuestro sistema, tenemos un campo finito de extensión de la $m$ $k$ de manera tal que nuestro sistema tiene una solución a través de $m$. Esta solución se traduce en un testimonio de que $V\otimes_k m$ es un sumando directo de $W\otimes_k m$ $A\otimes_k m$- módulo. Pero desde $m/k$ es finito, lo que ahora podemos aplicar el Caso 1 a $m$ en lugar de $l$, y a la conclusión de que $V$ es un sumando directo de $W$ $A$- módulo. Esto resuelve la Parte 2 en el caso general.

a la Pregunta 2. Estoy muy interesado en este mí mismo; es similar a MathOverflow pregunta #48909 que está todavía sin respuesta.