Sea $\gamma\colon \mathbb R\to SO(n)$ sea un camino (pero no necesariamente un grupo de un parámetro). Conduce a un difeomorfismo $f\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^n$
$$f(x) = \gamma\left(\lVert x \rVert^2\right)x,$$
que gira alrededor del origen cada envoltura esférica, según una rotación especificada por la distancia desde el origen.
Me pregunto si $f$ preserva el volumen, es decir, en cada punto $\vert\det f'(x)\vert = 1$ .
Esto es lo que sé:
- Prueba de que $f$ es un difeomorfismo es fácil, ya que su inversa es simplemente $x\mapsto \gamma(\lVert x \rVert ^2)^{-1}x$ .
- Para $n=2$ esto es fácil, pero tedioso - $SO(2)\simeq S^1$ y pude escribir un $\gamma$ como $t\mapsto \exp(i u(t))$ para alguna función $u\colon \mathbb R\to \mathbb R$ y verificar manualmente la identidad requerida.
- Ahora estoy especulando, pero el álgebra de Borel en $\mathbb R^n$ tiene una base que es (un análogo de alta dimensión de) un estereorradián abarcado entre radios $r_1$ y $r_2$ . Creo que puede ser posible demostrar usando el teorema de Fubini algo parecido al principio de Cavalieri - el área de cada "estereorradián" no cambia (ya que lo estamos rotando rígidamente por un elemento de $SO(n)$ ) para que el volumen total tampoco cambie. (Y pasar de esta base a conjuntos de Borel arbitrarios). Sin embargo, no fui capaz de completar los detalles y convertir esta intuición en una demostración formal.
- En general, $f'(x) \neq \gamma(\lVert x \rVert^2)$ pero creo que $\det f'(x) = 1 = \det \gamma(\lVert x \rVert^2)$ .
