Línea integral: $\int _{\gamma_1} F . d\gamma_1 =\pm \int_{\gamma_2} F . d\gamma_2$ ?

Question

Sea $F$ sea un campo vectorial continuo en $\Omega$ y, $\gamma_1: [a,b] \to \Omega$ y $\gamma_2:[c,d] \to \Omega$ dos curvas de clase $C^1$ tal que $\text{Im}(\gamma_1) = \text{Im}(\gamma_2)$ . ¿Es la declaración $$\int _{\gamma_1} F \cdot d\gamma_1 = \pm \int_{\gamma_2} F \cdot d\gamma_2$$

¿verdadero o falso? Justifíquelo.

No pensé en nada para probar o refutar la afirmación. Me gustaría una pista, si es posible.

Gracias de antemano.

Answer 1

Si suponemos que $\gamma_1$ y $\gamma_2$ son $C^1$ trazan el mismo camino, son uno-uno y onto y simples, entonces podemos construir una función $x(t)$ tal que $$\gamma_1\big(x(t)\big)=\gamma_2(t)$$ Esto implica también que $$\gamma_1'(x(t))x'(t)=\gamma_2'(t)$$ Si tienen las mismas direcciones $x$ tendrá una derivada estrictamente positiva y, en caso contrario, una derivada estrictamente negativa. Tenemos $$\int_{\gamma_1}F\cdot d\gamma_1=\int_a^b{F(\gamma_1(u))\cdot\gamma_1'(u)\,du}$$ Ahora dejemos que $u=x(t),\;du=x'(t)\,dt$ y asumir que tienen la misma dirección. Obtenemos la nueva integral $$\int_c^d{F(\gamma_2(t))\cdot \gamma_1'(x(t))\,x'(t)\,dt}=\int_c^d{F(\gamma_2(t))\cdot \gamma_2'(t)\,dt}=\int_{\gamma_2}{F\cdot d\gamma_2}$$ Esto es positivo porque $\gamma_2(c)$ será el inicio de la ruta y $\gamma_2(d)$ si tuvieran direcciones opuestas, tendríamos que cambiar los límites y, por tanto, añadir un signo negativo a la integral.

La única parte de esta prueba en la que quizás quieras profundizar es por qué debe existir tal función $x(t)$ y por qué sería diferenciable y estrictamente creciente/decreciente.