Hallar la suma de $\sum\limits_{k=1}^{\infty}q^k\sin k\alpha$

Question

Halla la siguiente suma $$\sum\limits_{k=1}^{\infty}q^k\sin k\alpha = q\sin\alpha + q^2\sin 2\alpha+\ldots+q^n\sin n\alpha+\ldots$$ Es que realmente no sé ninguna manera de simplificar esa suma debido a $q^k$ en $k$ plazo.
Si sólo fuera $$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sin k\alpha$$ hay una pista para cronometrar esa suma por $2\sin\frac{\alpha}{2}$ y utilizar la fórmula $2\sin\alpha \sin\beta = \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)$ Por lo tanto $$\sum\limits_{k=1}^{\infty}2\sin k\alpha\sin\frac{\alpha}{2} = (\cos\frac{\alpha}{2}-\cos\frac{3\alpha}{2})+(\cos\frac{3\alpha}{2}-\cos\frac{5\alpha}{2})+\ldots+$$ etc. Pero aquí no funciona y no sé qué hacer con él

Answer 1

En $$\sin k\alpha=\frac{e^{ik\alpha}-e^{-ik\alpha}}{2i}$$ su suma es $$\frac1{2i}\sum_{k=1}^\infty q^ke^{ik\alpha} -\frac1{2i}\sum_{k=1}^\infty q^ke^{-ik\alpha}.$$ Cada una de estas sumas es una serie geométrica.