¿Cómo puedo demostrar que $T$ ¿es invertible?

Question

Estoy muy atascado en estas transformaciones lineales, así que tengo $T(x_1,x_2)=(-5x_1+9x_2,4x_1-7x_2)$ y necesito demostrar que $T$ es invertible. Así que más o menos decir que esta es la matriz: $$\left[\begin{matrix}-5&9\\4&-7\end{matrix}\right]$$ Then it's inverse must be $\frac{1}{(-5)(-7)-(9)(4)}\left[\begin{matrix}-7&-9\\-4&-5\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}7&9\\4&5\end{matrix}\right]$ . Pero ¿es eso "demostrar" que $T$ ¿es invertible? También debo encontrar una fórmula para $T^{-1}$ . Pero esa es la matriz que acabo de encontrar ¿no?

Answer 1

Una forma rápida de comprobar si una matriz es invertible, es calcular $\det(T)$ . Si es igual a $0$ no se puede invertir $T$ De lo contrario, sí.

Para encontrar la fórmula general para invertir a $2 \times 2$ pruebe a invertir una con $a,b,c,d$ como elementos.

Alerta de spoiler : $$ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1}= \frac{1}{\det(T)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} $$

Answer 2

De otra manera: Tenga en cuenta que $T(1,0)=(-5,4)$ y $T(0,1)=(9,-7)$ son vectores linealmente independientes. Dado que $T$ asigna una base de dos elementos a dos vectores linealmente independientes, entonces es invertible.

Answer 3

Puedes elegir $\{(1,0) ,(0,1)\}$ como base para su espacio de dominio entonces con atención a la matriz de álgebra lineal de $T$ será $\begin{bmatrix} -5 &9 \\ 4&-7 \end{bmatrix}$ y esta a invertible , y cualquier otra matriz con otra base para dominio es ~ a esta matriz

Answer 4

Creo que estaría más en el espíritu de la pregunta (suena como si fuera un ejercicio de un curso o libro) escribir un mapa lineal $S$ tal que $S\circ T$ y $T\circ S$ son ambas la identidad - la matriz que has escrito te dice cómo hacerlo. Entonces tal $S$ es $T^{-1}$ .

También hay que tener en cuenta que existen diferentes matrices que pueden representar el mapa $T$ pero es cierto que comprobar que una matriz de este tipo es invertible equivale a demostrar que $T$ es invertible.

Esta no unicidad de las matrices también significa que no estoy de acuerdo en que la matriz que has encontrado sea lo mismo que "una fórmula para $T^{-1}$ ". Usted debe decir lo que el mapa $T^{-1}$ lo hace hasta cierto punto $(y_1,y_2)$ .

Answer 5

También puede demostrar que $\ker T=\{\vec{0}\}$ mediante la resolución de un sistema de ecuaciones lineales.