Sea $(X,\mathcal M,\mu)$ un espacio mensurable. Sé que si $M\in \mathcal M$ entonces $\boldsymbol 1_M:X\longrightarrow \mathbb R$ será mensurable. Pero si una función $f$ es medible, tendremos que $f=\boldsymbol 1_G$ para un $G\in \mathcal M$ . Hago esta pregunta, porque quiero demostrar que $$\mathbb E[\alpha X+\beta Y\mid \mathcal G]=\alpha \mathbb E[X\mid \mathcal G]+\beta \mathbb E[Y\mid \mathcal G],$$ y para ello, mi profesor tomó $G\in \mathcal G$ y comprobó que $$\mathbb E\Big[\mathbb E[\alpha X+\beta Y\mid \mathcal G]\boldsymbol 1_G\Big]=\mathbb E\Big[(\alpha \mathbb E[X\mid \mathcal G]+\beta \mathbb E[Y\mid \mathcal G])\boldsymbol 1_G\Big],$$ donde como en mi definición, queremos este resultado no para $\boldsymbol 1_G$ sino para todos $\mathcal G-$ mensurable. Pero, ¿aún así funciona?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Hay distintas definiciones de expectativa condicional, pero la de tu profesor es la estándar. Es decir, si $\mathbb E|X|<\infty$ tenemos $Y=\mathbb E[X|\mathcal G]$ sólo si $$ \mathbb E[X\mathbf 1_G]=\mathbb E[Y\mathbf 1_G] $$ para todos $G\in\mathcal G$ . La existencia y unicidad (hasta conjuntos de medida cero) de esta variable aleatoria viene dada por el teorema de Radon-Nikodym. A continuación, puede demostrar, mediante aproximación por funciones simples y utilizando el teorema de convergencia monótona (o dominada), que $$ \mathbb E[XZ]=\mathbb E[YZ] $$ para cualquier $\mathcal G$ -función medible $Z$ . Sin embargo, si sabemos que esto es cierto para todos $\mathcal G$ -medible $Z$ se cumple claramente para el caso en que $Z=\mathbf1_G$ por lo que, de hecho, podría tomarse como definición de expectativa condicional.
