Gödel su forma de enseñar la no-estándar de los modelos a Takeuti.

Question

En Memorias de una Prueba Teórico, Gaisi Takeuti relata cómo Gödel le enseñó acerca de modelos no estándar en una "interesante":

Se fue de la siguiente manera. Vamos a T ser una teoría con un modelo no estándar. En virtud de su Teorema de la Incompletitud, la consistencia de la prueba de la T no puede llevarse a cabo dentro de T. En consecuencia, la T y la la proposición "T es inconsistente" es consistente. No hay, por tanto, un número natural N que es el número de Gödel de una prueba para un contradicción de T. Tal número es, obviamente, un infinito número natural.

Alguien puede elaborar en la última frase de esta cita?

(Además, ¿en qué sentido es esta enseñanza no estándar de los modelos si se asume desde el principio?)

Answer 1

Sobre el final de la frase: Si el número de Goedel, en algunos modelos, de una prueba de una contradicción eran un estándar de número natural, entonces se podría codificar una prueba real de una contradicción. Pero no hay ninguna prueba real de una contradicción en $T$ porque, por hipótesis, $T$ tiene un modelo.

Sobre suponiendo que $T$ tiene un modelo no estándar: esta suposición podría ser reemplazado con "$T$ tiene un modelo" y el argumento seguiría trabajando. Así que me conjetura de que "no estándar" en la primera frase fue solo un error.

Este argumento se aplica sólo a las teorías de $T$ que son de forma recursiva (o al menos definably-en-$T$) axiomatizable, porque uno necesita para aplicar el teorema de la incompletitud.

Finalmente, en el análisis no estándar, por lo general se utiliza "no estándar modelo" para referirse a una primaria de la extensión del modelo estándar. Que no es lo que este argumento se produce, sin embargo. Se produce un modelo satisfactorio "$T$ es incoherente", mientras que el modelo estándar satisface "$T$ es consistente."