Prueba de que $\operatorname{rank}(SAT)= \operatorname{rank}(A)$

Question

Sea A $m\times n$ matriz, $S$ no singular $m\times m$ matriz y $T$ no singular $n\times n$ matriz. Demostrar que $\operatorname{rank}(SAT) = \operatorname{rank}(A)$ .

Lo sé.

$\operatorname{rank}(SAT) \leq \min\{\operatorname{rank}(S), \operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(T)\}$

$\iff \operatorname{rank}(SAT) \leq \min\{m, \operatorname{rank}(A), n\}$

y puesto que el rango de $A$ es como máximo $\min\{m,n\}$ :

$\operatorname{rank}(SAT) \leq \operatorname{rank}(A)$ .

Pero, ¿cómo puedo demostrar que $\operatorname{rank}(SAT)$ es exactamente $\operatorname{rank}(A)$ ?

Me parece intuitivo y lógico, pero no puedo demostrarlo.

Answer 1

Al revés, tenemos $$\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(S^{-1}SATT^{-1}) \leq \min\{\operatorname{rank}(S^{-1}),\operatorname{rank}(SAT),\operatorname{rank}(T^{-1})\}\leq \operatorname{rank}(SAT).$$