Pon un ejemplo de función continua $g$ y una función medible $h$ tal que $h \circ g$ no se puede medir.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Eric
Puntos
1907
Si está pensando en el Borel $\sigma$ -en el codominio de $g$ no encontrará ningún ejemplo: en ese caso, si $g$ es continua entonces es medible, y la composición de funciones medibles sigue siendo medible.
Si está pensando en $\sigma$ -de conjuntos medibles de Lebesgue, existe un ejemplo: véase la respuesta a la pregunta esta entrada . Puede consultar el artículo de Wikipedia sobre el Función de Cantor que el contestador llama la función de la escalera del diablo.
La clave para construir ese ejemplo reside primero en el hecho de que la función de Cantor mapea un conjunto de medida de Lebesgue $0$ (el conjunto de Cantor) al conjunto de medida positiva $[0,1]$ continuamente, y en segundo lugar que todo conjunto medible de Lebesgue de medida positiva contiene un conjunto no medible.
La función cantor no es inyectiva, porque es constante en casi todas partes. La suma de la identidad $(f(x)=x)$ soluciona este problema y la convierte en una biyección continua con inversa continua. Del argumento de esa respuesta se deduce que su inversa continua no es medible.
Nota: No veo realmente el papel de la composición en tu pregunta, pero una vez que encuentres la función continua no medible podrías tomar $h$ ser sólo la identidad.
