Inverso de $f(x)=x^n(1-x)^k$

Question

Intento encontrar la inversa de una función \begin{align} f(x)=x^n(1-x)^k, x \in (0,1) \end{align} donde $n$ y $k$ son algunos números enteros positivos.

Sé que su función no tiene una inversa "pura". Sin embargo, debe tener ramas superior e inferior.

Además, la inversa no puede escribirse en términos de funciones elementales. Por lo tanto, tiene que escribirse en términos de algunas funciones generalizadas como la función Lambert-W.

Pregunta: En $f$ tienen una inversa en términos de algunas funciones generalizadas?

Answer 1

La fórmula de inversión de Lagrange da $$a_i = \frac 1 {i!} \left. \frac {d^{i - 1}} {dy^{i - 1}} \left( \frac y {f(y)^{1/n}} \right)^{\! i} \, \right|_{y = 0} = \frac 1 {i!} \left( \frac {i k} n \right)_{\! i - 1}, \\ f^{-1}(y) = \sum_{i \geq 1} a_i y^{i/n} = y^{1/n} \hspace {1.5px} {_2 \hspace {-1px} \Psi_2} {\left( y^{1/n} \middle| {(1, 1), (\frac k n, 1 + \frac k n) \atop (2, 1), (\frac k n, \frac k n)} \right)},$$ donde $(b)_i$ es el factorial ascendente y $\Psi$ es la función Fox-Wright. La segunda rama que toma los valores en $(0, 1)$ es $1 - f^{-1}(y)$ con $n$ y $k$ intercambiados.