Acerca de la propiedad universal Stone-Čech

Question

Hay algo que se me escapa y no sé lo que es.

Entiendo que la compactación Stone-Cech de $X$ satisface la propiedad de que para todo mapa continuo $f: X \rightarrow K$ donde $K$ es compacto $T_2$ existe una única función continua $\beta f: \beta X \rightarrow K$ que amplía $f$ .

No entiendo por qué $K$ tiene que ser compacto, o por qué esto sólo ocurre para $\beta X$ . Quiero decir, dada cualquier compactación $Y$ de $X$ podemos ver $X$ como subconjunto denso de $Y$ . Así que si $f$ puede ampliarse a algunos $\tilde{f}: Y \rightarrow K$ continuamente, está claro que $\tilde{f}$ es única, $X$ es denso en $Y$ . También lo es la EXISTENCIA de tales $\tilde{f}$ ¿qué hace especial a la compactación Stone-Cech?

resumiendo

En resumen, si $Y$ es una compactificación de $X$ diferente de $\beta X$ existe un $K$ y una función continua $f: X \rightarrow K$ que no puede extenderse de forma continua a una función $\tilde{f}:Y \rightarrow K$ ?

Answer 1

En resumen, si $Y$ es una compactificación de $X$ diferente de $\beta X$ existe un $K$ y una función continua $f\colon X\to K$ que no puede extenderse de forma continua a una función $\tilde{f}\colon Y\to K$ ?

Sí, precisamente. Tome $K = \beta X$ . Si la incrustación canónica $f \colon X \to \beta X$ tiene una extensión continua a una compactificación $Y$ de $X$ entonces $\tilde{f}(Y)$ es denso (ya que contiene $f(X)$ ) compacto (ya que $Y$ es compacto) subconjunto de $\beta(X)$ Así que $\tilde{f}(Y) = \beta X$ . Por otra parte, a partir de la inclusión $g \colon X \to Y$ tenemos $\beta g\colon \beta X \to Y$ . Por la densidad de $X$ debemos tener $\beta g\circ \tilde{f} = \operatorname{id}_Y$ y $\tilde{f}\circ \beta g = \operatorname{id}_{\beta X}$ .

Así que $\beta X$ es -hasta isomorfismo- la única compactificación tal que todos continuo $f\colon X \to K$ con un compacto $K$ puede ampliarse. La inclusión en la compactificación de Stone-Čech no puede extenderse a ninguna otra compactificación (no isomórfica).