Distribuir n bolas en k cajas de forma que cada caja tenga un número par de bolas

Question

¿De cuántas maneras puedes distribuir n bolas en k cajas de modo que cada caja tenga un número par de bolas?

Bueno, hasta ahora creo que n debe ser un número par. Y sé que básicamente comienza con una simple ecuación:

$$x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_k = n$$ donde $$x_i\equiv 0\pmod 2$$ Normalmente usaría una combinación con repetición pero como tiene que haber un número par de bolas en cada caja no sé qué hacer.

Answer 1

Por supuesto $n$ debe ser par. Entonces distribuye $\frac{n}{2}$ bolas sobre $k$ casillas (sin condiciones) y duplicar las cantidades de todas las casillas. De este modo, todos los repartos son iguales, por lo que el problema es equivalente al siguiente $\frac{n}{2}$ en $k$ cajas problema para incluso $n$ . Para $n$ impar no hay soluciones.

Answer 2

Sugerencia : Sea $n = 2m$ . Sea $x_i = 2y_i$ , $1 \leq i \leq k$ . Entonces \begin{align*} x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_k & = n\\ 2y_1 + 2y_2 + 2y_3 + \cdots + 2y_k & = 2m\\ y_1 + y_2 + y_3 + \cdots + y_k & = m \end{align*} que es una ecuación en los enteros no negativos.