Probabilidad básica: se produce uno de los dos sucesos, pero no ambos.

Question

Estoy tomando un curso de posgrado en probabilidad y estadística usando Larsen y Marx, 4ª edición y estoy luchando con una pregunta aparentemente básica.

Si A y B son dos sucesos cualesquiera, no se excluyen mutuamente: $$P((A \cup B) ^\complement) = 0.6, P(A \cap B) = 0.2$$

¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B, pero no ambos? O dicho de otro modo $$P((A \cap B)\ ^\complement \cap (A \cup B)) = ?$$

Hasta ahora, he podido deducir lo siguiente: $$ P(A \cup B) = 1 - P((A \cup B) ^\complement ) = 1 - 0.6 = 0.4 $$ y $$P((A \cap B) ^\complement) = 1 - P(A \cap B) = 1 - 0.2 = 0.8$$

¿Puede alguien darme una pista sobre cómo proceder a partir de aquí? ¿Voy en la dirección correcta? ¿Cómo debería plantearme este tipo de problemas en general? Tengo la sensación de que el texto te da el conjunto básico de axiomas para definir las cosas, pero luego descuida la demostración de soluciones para ejemplos un poco más complicados de ecuaciones de probabilidad compuestas como la anterior.

Answer 1

Pista: Hallar la probabilidad de $A$ sólo más la probabilidad de $B$ sólo.

Sea $x= P(A~ \text{only})$ , $y=P(B ~\text{only})$ . Entonces $x +y + 0.2 =0.4$ . Así $x+y= 0.2$

Answer 2

La probabilidad de que ocurra al menos uno de ellos es $0.4$ y la probabilidad de que ocurran ambas es $0.2$ . Por lo tanto, la probabilidad de que exactamente se produce es $0.4-0.2=0.2$ .

Answer 3

$P((A \cup B)\setminus(A \cap B)) = P(A\setminus B) + P(A\setminus B) = P(A) + P(B) − 2P(A \cap B)$ ¡obtendrá la respuesta!