¿Cómo puedo calcular la serie de potencias de $f(x)$ si $f(f(x)) = e^x$ ? ¿Existe un método de conversión más rápido que las series de potencia para la iteración fraccionaria/raíces cuadradas funcionales?
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https://mathoverflow.net/questions/17605/how-to-solve-ffx-cosx/44727#44727
En resumen, la solución analítica es
$$g^{[1/2]}(x)=\phi(x)=\sum_{m=0}^{\infty} \binom {1/2}m \sum_{k=0}^m\binom mk(-1)^{m-k}g^{[k]}(x)$$
$$g^{[1/2]}(x)=\lim_{n\to\infty}\binom {1/2}n\sum_{k=0}^n\frac{1/2-n}{1/2-k}\binom nk(-1)^{n-k}g^{[k]}(x)$$
$$g^{[1/2]}(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k g^{[k]}(x)}{(1/2-k)k!(n-k)!}}{\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k }{(1/2-k) k!(n-k)!}}$$
Insertar aquí $g(x)=a^x$ De la misma manera se puede encontrar no sólo la raíz iterativa cuadrada sino la raíz iterativa de cualquier orden. Desgraciadamente esto no converge para $g(x)=a^x$ donde $a > e^{1/e}$ .
Aquí hay un gráfico para la raíz iterativa de $g(x)=(\sqrt{2})^x$ 
La cuestión se complica cuando se habla de la base $a>e^{1/e}$ . Pero en este caso la solución también se puede construir, ver este artículo .
JSON
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He aquí la demostración de un teorema debido a Thron (1956), extraído de un artículo de Laurent Bonavero (disponible en su página web).
Teorema. No existe una función completa $f$ (es decir $f:\mathbb C \to \mathbb C$ holomorfo) tal que $\exp = f \circ f$ .
Prueba. Si dicha función $f$ existe, entonces $f(\mathbb C)= \mathbb C^*$ . De hecho, $f(\mathbb C) \supset \exp(\mathbb C) = \mathbb C^*$ pero $0$ no puede ser a imagen y semejanza de $f$ : si $f(x)=0$ , entonces como $x \neq 0$ existe $y$ tal que $x=f(y)$ para que $\exp(y)=0$ absurdo.
Por lo tanto, $f$ puede ser levantado por el exponencial, $f=\exp \circ g \,$ para $g$ completo. Así que $\exp = \exp(g \circ f)$ y debe existir una constante $C$ tal que $g \circ f(z)=z+C$ para todos $z\in \mathbb C$ . De ello se desprende que $f$ es inyectiva, por lo que $\exp$ debería ser inyectiva también, ¡lo cual es absurdo!
Jorrit Reedijk
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Hay mucho material sobre esta cuestión aquí y en mathoverflow. También hay un "foro de tetración", donde alguien ha implementado una versión de tetración debido a Hellmuth Kneser, ver algunas entradas del foro allí: http://math.eretrandre.org/tetrationforum/forumdisplay.php?fid=8 " también en citizendium hay un extenso artículo de Dmitri Kousznetzov que afirma tener una interpretación (y aplicación) utilizable ver http://en.citizendium.org/wiki/Tetration
