¿Cómo puedo demostrar que la función lineal no forma un espacio vectorial base de $\mathcal{C}\bigl([0,1]\bigr)$ en $\mathbb R$ ?

Question

Demostrar que la función lineal no forma una base de espacio vectorial de $\mathcal{C}\bigl([0,1]\bigr)$ en $\mathbb R$ ?

he intentado esta pregunta muchas veces pero no lo he conseguido. estaba tomando la propiedad de multiplicación y suma escalar estaba mostrando que este vector forma un espacio vectorial es decir, contiene el vector cero

no se por donde empezar si alguien me ayuda le estare muy agradecido

Answer 1

Cualquier combinación lineal de funciones lineales sigue siendo una función lineal. Dado que la función $q\colon[0,1]\longrightarrow\mathbb R$ definido por $q(x)=x^2$ no es lineal, no pertenece al ámbito de las funciones lineales.

Además, el conjunto de todas las funciones lineales no es linealmente independiente.