Representaciones irreductibles y subgrupos abelianos

Question

Hay un teorema en teoría de la representación que me resulta sorprendente: la dimensión de la representación irreducible (compleja) de un grupo finito no es mayor que $(G:H)$ - un índice de subgrupo abeliano $H\subset G$ . ¿Puede alguien proporcionar una referencia o una prueba de esta afirmación?

Answer 1

Tenga en cuenta que si $V$ es cualquier representación irreducible de $G$ y $H$ es un subgrupo de $G$ entonces $V$ aparece en la representación inducida $\mathrm{Ind}(\mathrm{Res}(V))$ y esto implica que toda representación irreducible de $G$ aparece (como sumando de) $\mathrm{Ind}(W)$ para alguna representación irreducible de $H$ .

Si $H$ es abeliano, toda representación irreducible es unidimensional, y $\mathrm{Ind}(W)$ tiene dimensión $[G:H]$ por lo que la afirmación es correcta.