Los números enteros de base 10 36, 64 y 81 pueden convertirse a otras bases para que sus valores se representen con los mismos dígitos

Question

Los números enteros de base 10 36, 64 y 81 pueden convertirse a otras bases para que sus valores se representen con los mismos dígitos $\triangle\Box\Box$ donde $\triangle$ y $\Box$ son dos dígitos distintos del 0 al 9. ¿Cuál es el valor de $\triangle\Box\Box$ ?

Este problema me parece muy interesante. No tengo mucha experiencia con el cambio de base. Cualquier sugerencia es muy apreciada.

Answer 1

Pista:

$$ 36=6^2 \qquad 64=8^2 \qquad 81=9^2 $$

Answer 2

Llamemos al número que reciba $xyy$ . En base $b,xyy_b$ representa $xb^2+yb+1$ . Sabemos que $b^2 \le 36 \lt b^3$ para que su base tenga tres dígitos, así que $3 \lt b \le 6$ y sólo tenemos tres posibilidades. Podemos calcular $36_{10}=210_4=121_5=100_6$ y sólo el último puede ser $xyy$ . Esto significa que cada número es el cuadrado de su base, por lo que $64=100_8,81=100_9$

Answer 3

Qué mono.

Nota: $36, 64, 81$ son todos cuadrados perfectos por lo que todos tienen la forma $1*b^2 + 0*b + 0 = 100_b$ . Así que $\triangle = 1; \Box = 0$ es sin duda una solución. Pero, ¿es la única solución?

$\triangle\Box\Box_b = b^2*\triangle + b*\Box + \Box = 36$ .

Si suponemos $\triangle \ne 0$ tenemos $36 = 6^2 + 0 + 0$ Así que la base más baja posible puede ser $6$ $36 = 100_6=121_5;210_4;1100_3$ que es más que $3$ dígitos. Sólo $100$ es de la forma $\triangle\Box\Box$ .

Si tenemos en cuenta $\triangle = 0$ tenemos $\triangle\Box\Box = 0\Box\Box = \Box*b + \Box = \Box(b+1)$ para alguna base $b$ .

Así pues, tenemos $\Box(b+1) = 36;\Box(c+1) = 64; \Box (d+1) = 81$ así que $\Box$ es un divisor común de $36, 64$ y $81$ . $1$ es el único factor común.

Así que $\triangle\Box\Box = 011$ funcionará para $011_{35} = 36; 011_{63}=64;011_{80} = 81$ . Pero esas respuestas son... perversas.

Estoy seguro de que $\triangle = 0$ no debía tenerse en cuenta.

Así que creo que podemos $\triangle = 1; \Box = 0$ para bases $6,8,9$ .