Tengo una pequeña confusión respecto al concepto de desplazamiento eléctrico para un dieléctrico. Digamos que hay una esfera dieléctrica situada en un campo eléctrico uniforme. Quiero calcular el campo eléctrico dentro de la esfera. Como hay simetría en el problema, puedo usar $$ \nabla \cdot \vec D = \frac{Q_f}{\epsilon_0} $$ Sin embargo, dado que $Q_{free}$ es $0$ , $\vec D =\vec 0$ . También sé que el campo eléctrico $\vec E$ está relacionado con $\vec D$ mediante la relación $$ \vec D = \epsilon \vec E $$ de donde puedo decir que la magnitud del campo eléctrico es también $0$ . Sin embargo, intuitivamente creo que esto es erróneo porque la magnitud del campo eléctrico es $0$ para un conductor, no para un dieléctrico. Esperaba que alguien pudiera averiguar dónde me estoy equivocando exactamente.
Respuestas
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Tiene razón al concluir que $\nabla \cdot \mathbf D=0$ pero no significa que el desplazamiento eléctrico desaparezca.
Hay dos maneras de ver esto. Una es que el desplazamiento eléctrico necesita volver a su valor no dieléctrico a grandes distancias, es decir, el campo eléctrico impuesto externamente. La otra es que es carga libre en el problema - lo que creó el campo externo, más fácilmente modelado por un gran par de placas paralelas lejos de la esfera. En cualquier caso, es necesario tener $\mathbf D= \epsilon_0 \mathbf E_0$ lejos de la esfera, junto con la condición de no divergencia.
La solución a esto (una vez que te tragas la píldora, que no es tan fácil) es muy sencilla: se trata simplemente de $\mathbf D= \epsilon_0 \mathbf E_0$ en todas partes. No hay carga libre en la propia esfera dieléctrica, por lo que es invisible al campo de desplazamiento eléctrico, que mantiene su valor uniforme.
En cambio, el campo eléctrico sí presenta una discontinuidad, porque cambia la permitividad. Esto da lugar a una capa de carga en la superficie de la esfera, donde el dieléctrico polarizado se encuentra con el vacío.
Como he mencionado, cometiste 2 errores:
- La simetría esférica se rompe por el campo eléctrico externo, por lo que la de Gauss no es tan simple como para implicar D=0
- La constante dieléctrica no es homogénea. Existen diferentes polarizabilidades, $\epsilon$ dentro y fuera de la esfera.
Esta segunda condición crea una condición de contorno no trivial en la superficie de una esfera.
Desde $\vec{\nabla} \times \vec{E}$ sigue siendo 0 (La carga ligada no hará que el campo eléctrico se curve alrededor del objeto), un bucle alrededor de la superficie del mostrará que la componente del campo eléctrico tangencial (paralela) a la superficie será continua $E_{||,in}=E_{||,in}$
Mientras que la ley de Gauss para el campo de desplazamiento mostrará que el $D_{\perp}$ es continua a través, lo que implica que cualquier carga ligada creará una discontinuidad en la componente perpendicular del campo eléctrico. Para estas derivaciones, véanse las primeras diapositivas aquí
Por lo tanto, el campo eléctrico externo polarizará la esfera, creando carga ligada y reduciendo el campo eléctrico en el lado de la esfera (todavía en la misma dirección que el campo externo). Esta carga ligada a distancias lejanas hará que la esfera parezca un dipolo y genere (además del campo eléctrico externo) un campo eléctrico de dipolo:
Puedes resolver este problema exactamente trabajando con armónicos esféricos y resolviendo las condiciones de contorno escritas en términos del potencial eléctrico. Lo que se hace a partir de la diapositiva 11 aquí
