Resultado de la convergencia de la serie limpia

Question

Este es un bonito problema de convergencia de series con el que me he topado recientemente. Dada una secuencia no negativa de números reales $(a_n)$ tal que $$\sum_{n=1}^\infty a_n < \infty,$$ demuestre que existe una secuencia no decreciente de números no negativos $b_n$ tal que $$b_n \to \infty \quad\text{ and } \quad \sum_{n=1}^\infty a_n b_n < \infty.$$ En otras palabras, para cada serie convergente con términos no negativos, existe otra serie convergente con términos "sustancialmente mayores".

Yo tengo una solución (ver más abajo), pero quizás alguien más tenga una solución diferente, más simple y/o más elegante.

Answer 1

Por convergencia de la serie existe una secuencia estrictamente creciente de índices $(n_k)$ tal que $$\sum_{n=n_k}^\infty a_n < 2^{-k}.$$ Entonces $$\sum_{k=1}^\infty \sum_{n=n_k}^\infty a_n < \sum_{k=1}^\infty 2^{-k} = 1.$$ Como las series con términos no negativos pueden reordenarse arbitrariamente, obtenemos $$1 > \sum_{n=1}^\infty \sum_{k\in I_n} a_n = \sum_{n=1}^\infty a_n b_n,$$ donde $I_n = \{ k\in\mathbb{N}: n_k \le n \}$ y $b_n = \#I_n$ es el número de elementos en $I_n$ . Tenemos que $n_k$ es estrictamente creciente y $n_k \to \infty$ como $k\to\infty$ Así que $b_n$ es no decreciente y $b_n \to \infty$ .

Answer 2

Esta es otra forma de hacerlo. Deje que $$r_n = \sum_{k=n}^\infty a_k.$$ Entonces $(r_n)$ es una secuencia no creciente con $r_n \to 0$ . Podemos suponer $r_n >0$ para todos $n$ (de lo contrario, la afirmación es trivial), y observe que $$\sqrt{r_n} - \sqrt{r_{n+1}} = \frac{r_n-r_{n+1}}{\sqrt{r_n} + \sqrt{r_{n+1}}} = \frac{a_n}{\sqrt{r_n} + \sqrt{r_{n+1}}}.$$ Definir $$ b_n = \frac1{\sqrt{r_n} + \sqrt{r_{n+1}}}.$$ Entonces $(b_n)$ es una secuencia positiva no decreciente con $b_n \to \infty$ y $$\sum_{k=1}^n a_k b_k = \sum_{k=1}^n (\sqrt{r_k} - \sqrt{r_{k+1}})=\sqrt{r_1} - \sqrt{r_{n+1}},$$ así que $$\sum_{k=1}^\infty a_k b_k = \sqrt{r_1} < \infty$$

Answer 3

Algo muy parecido es el ejercicio 33 del capítulo 5 del libro de análisis real de Folland.

Para su problema, usted quiere $X = \{(b_n)_n \in \mathbb{R} : b_{n+1} \ge b_n \ge 0 \text{ for each } n \ge 1\}$ y $Y = \{(c_n)_n \in \mathbb{R} : (\frac{c_n}{a_n})_n \in X\}$ . Definir $T: X \cap l^\infty(\mathbb{N}) \to Y\cap l^1(\mathbb{N})$ por $T((b_n)_n) = (a_nb_n)_n$ . Claramente $T$ tiene un codominio válido y es un operador lineal inyectivo (podemos suponer $a_n \not = 0$ para cada $n$ ). Ahora bien, si no hubiera ningún $b_n \to \infty$ con $\sum_n a_nb_n < \infty$ entonces $T$ sería suryente. Por lo tanto, por el teorema del mapa abierto, $T^{-1}$ sería continua. Probablemente puedas terminar desde aquí (aunque no puedes usar el argumento exacto de Folland), pero estoy ocupado.