Sea N un número entero primo. Sabemos que el elemento $c=(0)-(\infty)$ genera el subgrupo de torsión de $J_0(N)$ y tiene orden Num( (N-1)/12). Ahora bien, existe un mapa natural $\pi^*:J_0(N) \rightarrow J_1(N)$ procedente del mapa de cobertura $\pi:X_1(N) \rightarrow X_0(N)$ . Mi pregunta es ¿cuál es la imagen de c bajo este mapa? En concreto, ¿es posible que $\pi^*(c)=0$ ?
Respuestas
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El hecho que menciona sobre $(0) - (\infty)$ que genera el subgrupo de torsión de $J_0(N)$ es el Teorema 1 (conjetura de Ogg) en la primera página del artículo de Mazur "El ideal de Eisenstein". Te recomiendo que lo leas. Si llegas hasta la página 2, encontrarás un "Teorema 2 (conjetura de Ogg retorcida)" que se refiere al subgrupo Shimura $\Sigma$ . La construcción de este subgrupo esencialmente lo identifica con el núcleo de $J_0(N) \rightarrow J_1(N)$ y la proposición 11.6 de ibid . demuestra que $\Sigma$ es de tipo multiplicativo, por lo que las observaciones de BCnrd se aplican al caso general.
Mario Marinato -br-
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No creo que pi^*(c) pueda ser 0. Supongamos que pi^*(c) = div(f); entonces f sería un mapa de X_1(N) a P^1 de grado alrededor de N. Pero de hecho cualquier mapa de este tipo es de grado al menos ~N^2, es decir, la gonalidad de X_1(N) está limitada por debajo por un múltiplo constante de N^2. Esto fue demostrado independientemente por Zograf ("Pequeños valores propios de Laplacianos automórficos en espacios de formas cúspide") y Abramovich ("Un límite inferior lineal para la gonalidad de las curvas modulares").
Actualización : Como señala Kevin en los comentarios, debería decir "para N suficientemente grande". Pero "suficientemente grande" es efectivo aquí ya que las constantes en los límites de gonalidad son efectivas (aunque pequeñas.)
