Demuestre que en cualquier grupo de orden $23 \cdot 24$ El $23$ -El subgrupo Sylow es normal.

Question

Demuestre que en cualquier grupo de orden $23 \cdot 24$ El $23$ -El subgrupo Sylow es normal.

Sea $P_k$ denotan el $k$ -y sea $n_3$ denotan el número de conjugados de $P_k$ .

$n_2 \equiv 1 \mod 2$ y $n_2 | 69 \implies n_2= 1, 3, 23, 69$

$n_3 \equiv 1 \mod 3$ y $n_3 | 184 \implies n_3 = 1, 4, 184$

$n_{23} \equiv 1 \mod 23$ y $n_{23} | 24 \implies n_{23} = 1, 24$

Supongamos por contradicción que $n_{23} = 24$ . Entonces $N(P_{23})=552/24=23$ . Por tanto, el normalizador de $P_3$ sólo contiene la identidad y elementos de orden $23$ .

Es imposible que $n_2$ a igual $23$ o $69$ o para $n_3$ a igual $184$ ya que entonces tendríamos más de $552$ elementos en G.

Caso 1:

Sea $n_2 = 1$ . Entonces tenemos $P_2 \triangleleft G$ por lo que tenemos un subgrupo $H=P_2P_{23}$ en G. Sabemos que $|H|=\frac{|P_2||P_{23}|}{|P_2 \cap P_{23}} = 184$ . También sabemos que el $23$ -Subgrupo Sylow de $H$ es normal, por lo que su normalizador es de orden $184$ . Puesto que un $p$ -es el mayor subgrupo de orden $p^k$ para algunos $k$ ; y puesto que el orden del $23$ -Subgrupo Sylow de H y G ambos iguales $23$ deben coincidir. Pero eso significa que los elementos de órdenes no iguales a $23$ normalizar $P_{23}$ lo cual es una contradicción.

Caso 2:

Supongamos que $n_3=1$ . Entonces tenemos $P_3 \triangleleft G$ por lo que tenemos un subgrupo $K=P_2P_{23}$ en $G$ . Desde $|K|=\frac{|P_3||P_{23}|}{|P_2 \cap P_{23}}= 69$ El $23$ -subgrupo bajo de $K$ es normal. De nuevo, como en el caso 1, tenemos un elemento de orden no igual a $23$ que normaliza $P_{23}$ .

Caso 3:

Sea $n_3=4$ y $n_2=3$ . Pero entonces $N(P_2)=184$ . Esto es lo mismo que en el caso 1, ya que tenemos un subgrupo de G de orden $184$ .

¿Cree que mi respuesta es correcta?

Gracias de antemano

Answer 1

Como ya se comentó en su día, la solución del OP es correcta. Promover una forma modificada (IMHO simplificado) de la idea del comentario de Thomas Browning a una respuesta alternativa.

El grupo $G$ contiene $23\cdot24-24\cdot22=24$ elementos fuera del Sylow $23$ -subgrupos. Llamamos al conjunto de esos elementos $X$ . Claramente $X$ consiste en clases de conjugación completas. Si $s\in G$ es un elemento de orden $23$ Consideremos entonces la acción de conjugación de $P=\langle s\rangle$ en $X$ . El elemento identidad está obviamente en una órbita por sí mismo. Por Orbita-Estabilizador bien $X\setminus\{1_G\}$ es una órbita única, o la acción de $P$ tiene otro punto fijo no identitario en $X$ .

• En el primer caso, todos los elementos de $X\setminus\{1_G\}$ debe compartir el mismo orden, siendo conjugados, en violación del teorema de Cauchy lo que implica que deben existir elementos de órdenes $2$ y $3$ en $X$ al menos.
• En este último caso $P$ está centralizada, y por tanto normalizada, por un elemento no identitario $\in X$ . Pero esto contradice el hecho de que $P$ se sabe que tiene $24=[G:P]$ subgrupos conjugados, y por lo tanto debe ser auto-normalizante, $N_G(P)=P$ .