Al principio del Álgebra Superior, Lurie aplica repetidamente el teorema de Whitehead para mapas entre espacios cartográficos, junto con la identidad $\pi_n Map_{\mathcal C}(X,Y)=Ext^{-n}(X,Y):=Hom_{h\mathcal C}(X[n],Y)$ donde $X[n]=\Sigma^nX$ y estos grupos homotópicos están señalados por el mapa cero. Utiliza isomorfismos de todos los Exts negativos para concluir equivalencias de espacios cartográficos. Por supuesto, el teorema de Whitehead requiere una biyección en $\pi_n$ para cada $n\geq0$ sino también para cada punto base. Así que a priori parece que no hemos verificado las hipótesis del teorema de Whitehead porque sólo lo hemos hecho para un punto base. ¿Por qué es esto suficiente? Supongo que algo sobre la estabilidad de $\mathcal C$ hace que los grupos homotópicos sean invariantes bajo cambio de punto base, pero no veo cómo.
Respuesta
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Un espacio cartográfico estable $\infty$ -es un espacio de bucles (ya que $Map(X,Y)\simeq \Omega Map(\Sigma^{-1}X,Y)$ ), por lo que en particular es un grupo hasta la homotopía. En particular, todos los diferentes componentes de dicho espacio cartográfico $M$ son homotópicamente equivalentes: si $M_0$ es la componente del punto base y $x\in M$ está en un componente diferente, traducción por $x$ es una equivalencia homotópica de $M_0$ al componente de $x$ (con inversa dada por la traslación por $x^{-1}$ ). Del mismo modo, cualquier mapa entre estos espacios de mapeo inducido por un morfismo en el estable $\infty$ -conservará la estructura de grupo hasta la homotopía y, por tanto, inducirá el mismo mapa (hasta la homotopía) en los diferentes componentes conectados cuando los identifiquemos juntos mediante una traslación como ésta.
