Complejo Rips contraíble de grupo no hiperbólico

Question

He oído que los complejos de Rips asociados a los grafos de Cayley de grupos hiperbólicos son contractibles para un radio suficientemente grande. ¿Es cierto lo contrario? Es decir, si un grupo no es hiperbólico, ¿su complejo de Rips nunca es "asintóticamente" contráctil?

Por ejemplo, podemos preguntarnos si el grupo no hiperbólico $\mathbb{Z}^2$ tiene complejo de Rips contractible asociado a su grafo de Cayley para radios grandes.

No sé mucho de teoría geométrica de grupos, y búsquedas rápidas en Google para esta pregunta no fueron suficientes para encontrar una respuesta fácil para esto. Esto parecía una pregunta natural que habría sido abordado en algún momento, así que si alguien tiene una respuesta estándar para esto, sería bueno saber :)

Answer 1

He aquí una prueba muy ad hoc de que $Rips_2(\mathbb{Z}^2)$ es contráctil, lo que se me ocurrió en algún momento en conversaciones con Brendan Mallery, aproximadamente un año después de que yo escribiera el artículo al que Ian Agol enlazó más arriba.

Consideremos el simplex máximo $\{(n,m),(n+1,m),(n-1,m),(n,m+1),(n,m-1)\}$ . Esto ha $\{(n+1,m),(n-1,m),(n,m+1),(n,m-1)\}$ como una cara libre (lo que significa que es el único simplex que contiene correctamente esa cara), por lo que podemos eliminar el simplex y esta cara libre sin cambiar el tipo de homotopía del complejo. Haga esto para cada $n$ y $m$ . Dentro del subcomplejo resultante, el simplex (ahora maximal) $\{(n,m),(n+1,m),(n-1,m),(n,m+1)\}$ tiene $\{(n+1,m),(n-1,m),(n,m+1)\}$ como una cara libre, por lo que se pueden eliminar sin cambiar el tipo de homotopía. Del mismo modo, podemos "emparejar" $\{(n,m),(n+1,m),(n-1,m),(n,m-1)\}$ con $\{(n+1,m),(n-1,m),(n,m-1)\}$ y eliminarlos, y también la versión en la que se utiliza $n+1,m+1,m-1$ y la versión en la que se utiliza $n-1,m+1,m-1$ . Por último, empareja $\{(n,m),(n+1,m),(n-1,m)\}$ con $\{(n+1,m),(n-1,m)\}$ y $\{(n,m),(n,m+1),(n,m-1)\}$ con $\{(n,m+1),(n,m-1)\}$ .

Tras eliminar todos estos pares de símplices para todos los $m$ y $n$ el tipo de homotopía nunca ha cambiado y ahora hemos eliminado todas las símplices que contienen aristas de la forma $\{(n+1,m),(n-1,m)\}$ o $\{(n,m+1),(n,m-1)\}$ . El subcomplejo de lo que queda (suponiendo que no haya olvidado ningún caso) es un "acolchado de tetraedros", es decir, el complejo de banderas del grafo obtenido a partir del grafo de Cayley estándar de $\mathbb{Z}^2$ añadiendo cada arista de la forma $\{(n,m),(n+1,m+1)\}$ y $\{(n,m),(n+1),(m-1)\}$ . Esto es visiblemente contractible, por lo que $Rips_2(\mathbb{Z}^2)$ es contraíble. (Por cierto, todo esto de eliminar-muchos-pares-de-simples se puede formular usando Teoría Morse discreta de Forman .)

Como he dicho, esto es muy ad hoc, y parece que sería un gran lío para tratar de generalizar a $Rips_k(\mathbb{Z}^2)$ para $k>2$ (Supongo que tu pregunta real se refería más a los "radios grandes"), pero al menos aquí tienes un ejemplo concreto de un grupo no hiperbólico con un complejo de Rips contráctil que utiliza una métrica de palabras. En general, ¡se sabe sorprendentemente poco sobre los complejos de Rips de grupos que utilizan métricas de palabras!

Answer 2

Otra fuente de grafos de Cayley con complejos de Rips contractibles procede de los grafos de Helly.

Proposición: Los complejos Rips de grafos de Helly uniformemente finitos localmente son contractibles.

Véanse el Lemma 5.28 y el Teorema 4.2(v) del preimpreso arXiv:2002.06895 .

Una construcción de los grafos de Helly es la siguiente: Dado un complejo cúbico CAT(0) $X$ el gráfico obtenido a partir de $X^{(1)}$ añadiendo una arista entre dos vértices cualesquiera que pertenezcan a un cubo común es un grafo de Helly. Y existen muchos grupos que admiten complejos de cubos CAT(0) como grafos de Cayley. Por ejemplo:

Corolario: Sea $\Gamma$ sea un grafo simplicial finito. Sea $G$ denota el grafo de Cayley del grupo de Artin en ángulo recto $A(\Gamma)$ construido a partir del grupo electrógeno $\{ u_1\cdots u_n \mid u_1, \ldots, u_n \in V(\Gamma) \text{ pairwise adjacent} \}$ . Entonces todos los complejos Rips de $G$ son contractibles.

Observe que $A(\Gamma)$ es hiperbólica si y sólo si $\Gamma$ no tiene aristas, por lo que la mayoría de estos ejemplos no son hiperbólicos. Por ejemplo, el corolario incluye $\mathbb{Z}^2$ con el grupo electrógeno $\{(1,0), (1,1), (0,1)\}$ . Otros grupos que tienen como grafos de Cayley complejos cúbicos CAT(0) de un solo ángulo son los grupos Coxeter de ángulo recto y los grupos de reflexión de imitación de ángulo recto.