Tengo problemas para simplificar la siguiente expresión en forma matricial:
$$\mathbf{X}(\mathbf{X}+a\mathbf{I})^{-1}$$
Dónde $\mathbf{X}$ es un invertible $n \times n$ matriz, $a$ es un valor escalar, y $\mathbf{I}$ es la matriz de identidad.
Razoné que, puesto que el producto de una matriz por su inversa es la matriz identidad, el producto de una matriz por la inversa de una matriz "desplazada" es simplemente el valor del desplazamiento. En otras palabras, lo anterior se simplificaría a $a\mathbf{I}$ . Sin embargo, no sé si eso es correcto, y si lo es no conozco los pasos de álgebra lineal para demostrarlo.
