Puntos racionales de la curva elíptica $y^2=x^3 -x$

Question

He estado intentando encontrar puntos racionales en la curva elíptica $y^2=x^3 -x$ pero no encuentro nada más aparte de $(-1,0), (0,0), (1,0)$ . Tengo como una prueba 'tensa' de que tal vez no sea posible encontrar puntos racionales en esta curva(aparte de los ya mencionados), pero no estoy seguro de ello. ¿Alguien me puede ayudar?

Answer 1

En el sitio web Servidor SageMath Cell . Cambia el idioma a "GP". Introduzca las líneas

ellfromeqn(-y^2 + x^3 - x);
print("torsion = ",elltors(E));
print("generators = ",ellgenerators(E));

Haga clic en "Evaluar" y el resultado será

torsion = [4, [2, 2], [[-1, 0], [0, 0]]]
generators = []

Esto nos dice que el orden del grupo de torsión es $4$ que es el producto de dos grupos cíclicos, y dos generadores del grupo de torsión es $(-1,0)$ y $(0,0)$ . El grupo de Mordell-Weil de $E$ es trivial y, por tanto, no tiene generadores.

También puede descargar PARI/GP y haz lo mismo en tu ordenador. Podrías descargar un binario independiente de Windows y ejecutarlo sin necesidad de instalación.