La cuestión es $X$ sea una variable aleatoria, y $A,B \in F$ y $A \cap B = \phi$ y $X= -3\mathbb{I_A} +7 \mathbb{I_B}$ donde $\mathbb{I}$ es una función característica. $\sigma(X)$ ?
Respuesta
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Oliver Diaz
Puntos
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En general, si se tiene una variable aleatoria $Y$ que toma un número finito de valores, digamos $y_1,\ldots, y_k$ (todos $y's$ son distintos), entonces el $\sigma$ -generada por $Y$ es la colección de todos los conjuntos de la forma $Y^{-1}(A)$ donde $A\subset\{y_1,\ldots,y_k\}$ . Existen $2^k$ elementos en $\sigma(Y)$ .
En su caso, puesto que $A\cap B=\emptyset$ , $X$ toma tres valores $\{-3,7,0\}$ si $A\cup B\neq\Omega$ o dos valores $\{-3,7\}$ si $A\cup B=\Omega$ . En el primer caso, $\sigma(X)$ tiene $2^3=8$ elementos: $$\begin{align} \sigma(X)&=\{X^{-1}(\emptyset), X^{-1}(\{-3\}), X^{-1}(\{7\}),X^{-1}(\{0\}), X^{-1}(\{-3,7\}),X^{-1}(\{-3,0\}), X^{-1}(\{0,7\},X^{-1}\{-3,0,7\}\}=\\ &=\{\emptyset,A,B,(A\cup B)^c, A\cup B, A\cup (A\cup B)^c, B\cup(A\cup B)^c,\Omega\} \end{align} $$
