Prueba de los límites en el infinito

Question

Diga $p(x) = a_nx^n+...+a_0$ donde n es impar y $a_n$ positivo

a) Demuestre que $\lim_{x\to\infty}p(x)= \infty $ y $\lim_{x\to-\infty}p(x)= -\infty$

b) Demuestre que $\exists c R$ tal que $p(c) = 0$

Para la parte a) tengo que $p(x) = x^n(a_n+...+\frac{a_0}{x^n})$

¿Puedo asumir inmediatamente que $\lim_{x\to\infty}p(x)= \infty $ y $\lim_{x\to-\infty}p(x)= -\infty$ ?

Para la parte b) supongo que tengo que utilizar el Teorema del Valor Intermedio, así que en cuanto demuestre la parte a) esto será una consecuencia.

Answer 1

Sí, es correcto desde

• $p(x) = x^n(a_n+...+\frac{a_0}{x^n})\to\pm \infty$ como $x\to \pm \infty$

desde $\forall i\implies \frac{a_i}{x^{n-i}}\to 0$

por contnuidad de $p(x)$ y IVT podemos deducir que existe $c$ tal que $p(c)=0$ .