Esto significa que si el límite $x$ se acerca al infinito $f(x)$ es un número real distinto de más-menos infinito entonces $f'(x)$ como $x$ se acerca al infinito será $0$ o inexistente. Necesito una prueba matemática o un contraejemplo.
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Thorgott
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23
Sea $D$ contienen una vecindad de $+\infty$ y que $f\colon D\rightarrow\mathbb{R}$ be, s.t. $f$ es diferenciable en una vecindad de $+\infty$ y $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)=L\in\mathbb{R}$ .
Para un $n\in\mathbb{N}$ el MVT garantiza la existencia de $\xi_n\in(n,n+1)$ tal que $$f(n+1)-f(n)=\frac{f(n+1)-f(n)}{n+1-n}=f^{\prime}(\xi_n).$$ El LHS va a $L-L=0$ como $n\rightarrow\infty$ por lo que también tenemos $f^{\prime}(\xi_n)\rightarrow0$ . Ahora si $\lim_{x\rightarrow\infty}f^{\prime}(x)\in\bar{\mathbb{R}}$ será igual a $\lim_{n\rightarrow\infty}f(\xi_n)=0$ porque $\xi_n\rightarrow\infty$ como $n\rightarrow\infty$ . Sin embargo, no es necesario que exista el límite como contraejemplo $f\colon(0,\infty)\rightarrow\mathbb{R},\,x\mapsto\frac{\sin(x^3)}{x}$ espectáculos.
Adam Latosiński
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21
Un contraejemplo:
Sea $a_n$ sea una secuencia tal que $a_n>0$ y $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{a_n}} = g < \infty$ .
Sea $f(x) = \int_{-\infty}^x \big(\sum_{n=1}^\infty e^{-a_n(y-n)^2}\big) dy$ .
W $$f'(x) = \sum_{n=1}^\infty e^{-a_n(x-n)^2} > 0 $$ así que $f(x)$ es estrictamente creciente; también tenemos $$\lim_{x\rightarrow\infty} f(x) = \int_{-\infty}^\infty \big(\sum_{n=1}^\infty e^{-a_n(y-n)^2}\big) dy = \sum_{n=1}^\infty \sqrt{\frac{\pi}{a_n}} = g \sqrt{\pi} < \infty$$ Sin embargo $$ f'(n) = \sum_{m=1}^\infty e^{-a_m(n-m)^2} \ge e^{-a_n(n-n)^2} = 1$$ así que $f'(x)$ no converge a $0$ para $x\rightarrow\infty$ .
Básicamente, el truco consiste en $f'(x)$ sea muy pequeña la mayor parte del tiempo, pero en intervalos muy cortos puede ser arbitrariamente grande; si el intervalo es lo suficientemente corto, una derivada grande no tiene por qué aumentar $f(x)$ por mucho.
