Me gustaría ver algunos ejemplos (no artificiales) de relaciones que aparecen en otras partes de las matemáticas y que resultan ser torneos (antisimétricos, anexos, no reflexivos) sin ser órdenes lineales.
Respuestas
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Ken
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106
Sea $p$ sea un primo de la forma $4k+3$ y que $\mathbb{Z}_p$ sean los números enteros módulo $p$ . Podemos construir un grafo dirigido sobre $\mathbb{Z}_p$ dibujando un borde $x \rightarrow y$ si $y-x$ es un residuo cuadrático distinto de cero módulo $p$ . Porque $-1$ es un no-residuo cuadrático, exactamente uno de $y-x$ y $x-y$ es un residuo, por lo que el grafo dirigido resultante es un torneo.
A veces se denomina "torneo de Paley" o "dígrafo de Paley".
Olivier Roche
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1
Si traza los resultados de un torneo round-robin como sigue, obtendrás un torneo muy natural que no es un orden lineal (si hay más de 2 participantes). Consideremos un torneo de un juego en el que no pueden producirse tablas, como el Go.
Digamos que hay $n > 2$ participantes $p_1,\dots, p_n$ . Toma $V := \{p_1, \dots, p_n\}$ . Ahora dejemos que $E := \{(p_i, p_j) \ \big| \ p_i \textrm{ has beaten } p_j\}$ . El gráfico $G = (V, E)$ es un torneo (de ahí su nombre, por cierto).
