Prueba por inducción con distintos valores propios

Question

$SA=AT$ donde $S$ y $T$ no tienen valores propios en común. Demostrar por inducción que $(T-\lambda I)^kv=0$ implica que $Av=0$ .

Esto es lo que tengo hasta ahora:

$k=1$ : $$ (T-\lambda I)v=0 $$$$ Tv=\lambda v $$$$ SAv=ATv=\lambda Av $$$$ SAv=\lambda Av $$ $ Av $ must equal $ 0 $ because $ S $ and $ T$ no comparten vectores propios.

$k=n$ : $$ (T-\lambda I)^nv=0 \textrm{ implies } Av=0 $$

$k=n+1$ ¿Y ahora qué?

Answer 1

Dividir el $k=n+1$ caso en: $$ 0 = (T-\lambda I)^{n+1} v = (T - \lambda I)^n (T - \lambda I) v := (T - \lambda I)^n w $$ donde $w = (T- \lambda I)v$ . Utilice ahora el paso inductivo para concluir que $Aw = 0$ .

Esto implica que $$ A(T - \lambda I)v = 0 \\ ATv = \lambda A v \\ S(Av) = \lambda (Av) $$ Por lo tanto $\lambda$ es un valor propio de $S$ . Pero sabemos que $\lambda$ es un valor propio de $T$ y así $Av = 0$ .