La clase de homotopía de un camino en I x I?

Question

Estoy empezando a estudiar topología algebraica y me he encontrado con este problema, que me inquieta bastante. Según tengo entendido, los elementos del grupo fundamental son bucles, así que ¿cómo se define este camino discontinuo? Si se supone que representa el bucle desde el punto inicial que luego viaja a través del camino discontinuo y luego a lo largo de los lados, entonces ¿por qué no es la identidad? El cuadrado en sí no es más que un polígono y pensé que su grupo fundamental sería trivial porque cada bucle en cualquier punto base es homotópico al bucle trivial.

Answer 1

El espacio no es la plaza $I \times I$ es un cociente de $I \times I$ . Los bordes se identifican como indican las flechas. Piensa que cada arista está pegada a las demás de tal manera que las flechas van en la misma dirección. En particular, todos los vértices del cuadrado original son el mismo punto en el espacio del cociente, de modo que la línea discontinua es efectivamente un bucle.

Answer 2

Van Kampen sería el camino más fácil. Tome $U$ y $V$ como en la imagen de abajo . $U\cap V$ es la parte azul.

Entonces $U$ es contractible y $V$ deformación se retrae en la frontera que es homotópica a la cuña de un solo círculo . Es decir, sólo hay una $0$ -y una única $1$ -celda unida a ella por el mapa constante. Entonces $\pi_{1}(V)=\langle a\rangle\cong\Bbb{Z}$ y $\pi_{1}(U)=\{e\}$ .

En $U\cap V$ es un camino conectado (anillo) y su deformación se retrae a un círculo, podemos tomar el producto amalgamado sobre $\pi_{1}(U\cap V)$ para obtener la relación $a^{4}=e$ .

Así $\pi_{1}(X)=\langle a\,; a^{4}=e\rangle \cong \frac{\Bbb{Z}}{4\Bbb{Z}}$ .

Ahora $\gamma$ puede verse fácilmente que es homotópica a $a*a=a^{2}$ (empujar $\gamma$ hacia el borde izquierdo y superior) que no es trivial. Explícitamente, lo que se hace es tomar el punto $(0,0)$ y $(1,1)$ y tienes $a*a$ (vistos como el borde izquierdo y el borde superior) es un camino que une estos dos puntos. Se utiliza el interior de este conjunto cuadrado convexo y se utiliza una homotopía convexa de la diagonal al camino . Es decir, si $\Gamma$ denota la línea diagonal que une $(0,0)$ y $(1,1)$ entonces se define $H(s,t)=\Gamma(s)+t((a*a)(s)-\Gamma(s))$ . Y luego se compone con el mapa cociente $q$ para obtener la homotopía necesaria que hace que $\gamma=q(\Gamma)\sim a*a $

Y por lo tanto $[\gamma]=[a^{2}]$ y tienes $[\gamma^{2}]=[a^{4}]=e$