Esos dos problemas me molestan desde hace tiempo. Creo que tengo la mayor parte de ella, pero quiero tener una solución agradable y limpio, así que lo pongo aquí para su discusión.
A continuación utilizaré la suma de Einstein.
El primero es el problema 8 de la página 367. Nos pide que demostremos la estimación del gradiente para la ecuación elíptica $$Lu:=-a_{ij}\partial_i\partial_ju=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
Sugiere que empecemos con $v:=|Du|^2+\lambda u^2$ y demostrar que $Lv\leq 0$ para $\lambda$ lo suficientemente grande. Como de costumbre, hice cálculos y terminé con
$$Lv= -a_{ij}\,\partial_j\partial_ku\,\partial_i\partial_k u + \partial_ka_{ij}\,\partial_k u\,\partial_i\partial_ju-2\lambda a_{ij}\,\partial_ju\,\partial_i u-2\lambda a_{ij}\,u\, \partial_i\partial_ju,$$ en la que introduzco la función (1) con derivada respecto a $\partial_k$ y multiplicar por $\partial_k u$ . Entonces, aplicando la elipticidad y usando la desigualdad de Cauchy, termino con $$Lv\leq -\frac{\theta}{2}|D^2u|^2+(-2\theta\lambda +A)|Du|^2-2\lambda a_{ij}\,u\, \partial_i\partial_ju $$ donde $\theta>0$ es la constante de elipticidad y $A$ sólo depende de $a_{ij}$ . Me quedé atascado en la última parte de la derecha.
Pensaba estimarlo con $$ -2\lambda a_{ij}\,u\, \partial_i\partial_ju \leq B\lambda |u|^2+ \frac{\theta}{4}|D^2u|^2$$ y habría $$Lv\leq -\frac{\theta}{4}|D^2u|^2+(-2\theta\lambda +A)|Du|^2+B\lambda |u|^2$$ Claramente como $\lambda$ suficientemente grande, tengo $-2\theta\lambda+A<0$ ¿Cómo puedo librarme de la última parte? Creo que $\lambda$ no debe depender de $u$ .
La siguiente pregunta se refiere al problema 9 de la página 367. Podría hacer todo el camino hasta $$ \left|\frac{\partial}{\partial \nu}u(x^0)\right|\leq C\left|\frac{\partial}{\partial \nu}w(x^0)\right| $$ pero la pregunta en realidad me pide que demuestre $$ |Du(x_0)|\leq\left|\frac{\partial}{\partial \nu}w(x^0)\right| $$ No tengo ni idea de cómo viene la última parte...
Por favor, ayuda. Gracias.
