La intersección de 2 subgrupos debe ser un subgrupo prueba.

Question

Ok tenemos 2 subgrupos de G definidos como $H_1$ y $H_2$ la pregunta quiere que probemos que la intersección de $H_1$ y $H_2$ también debe ser un subgrupo de G.

Esto parece bastante intuitivo, lo que hace que como matemáticas sea usualmente difícil de demostrar :)

sabemos que para cualquier elemento a en $H_1$ existe $a^{-1}$ y que $H_1$ está cerrado. Lo mismo ocurre para $H_2$ así que la intersección solo contendrá un elemento c en $H_1$ Intersección $H_2$ si c y $c^{-1}$ están en $H_1$ y $H_2$ además sabemos que $H_1$ y $H_2$ deben contener a $e$ la identidad de G por lo tanto la intersección de $H_1$ y $H_2$ no puede estar vacía. Mi problema radica en escribir esto y probar el cierre en esta intersección.

Answer 1

Para evitar subíndices, dejemos que $H_1 = P,\; H_2 = Q$ . El cierre se trata en la Pista 2.

$P$ y $Q$ son subgrupos de un grupo $G$ . Demostrar que $P \cap Q$ es un subgrupo.

Primer paso :
Sabes que $P$ y $Q$ son subgrupos de $G$ . Esto significa que cada uno de ellos contiene el elemento de identidad , digamos $e$ de $G$ . Entonces, ¿qué puede concluir sobre $P\cap Q$ ? Si $e \in P$ y $e \in Q$ ? (Sólo descomprimir que significa para su intersección.) Al mostrar $e \in P\cap Q$ , también muestras, $P\cap Q$ no está vacío.

Paso 2 :
Sabes que $P, Q$ son subgrupos de $G$ . Por tanto, ambos están cerrados bajo la operación de grupo de $G$ . Si $a, b \in P\cap Q$ entonces $a, b \in P$ y $a, b \in Q$ . Así que $ab \in P$ y $ab \in Q$ . Entonces, ¿qué puede concluir sobre $ab$ con respecto a $P\cap Q$ ? Se trata de demostrar cierre en el marco de la operación de grupo de $G$ .

Paso 3 :
Se pueden utilizar argumentos similares para demostrar que para cualquier elemento $c \in P\cap Q$ , $c^{-1} \in P\cap Q$ . Si $c \in P\cap Q$ entonces $c \in P$ y $c\in Q$ . Desde $P$ y $Q$ son subgrupos, cada uno de los cuales contiene $c$ se deduce que $c^{-1} \in P$ Y $c^{-1} \in Q$ . Por lo tanto $c^{-1} \in P\cap Q$ . Eso establece que $P\cap Q$ es cerrado bajo inversos .

Una vez que haya completado cada paso anterior, ¿qué puede concluir sobre $P\cap Q$ en $G$ ?

Answer 2

Ya has hecho casi todo:

Sea $G$ un grupo, $H_1, H_2$ subgrupos de $G$, $H=H_1\cap H_2$. Entonces

• $H$ no está vacío: Si $e$ es el elemento neutro de $G$, entonces $e\in H_1$ y $e\in H_2$, porque son subgrupos. Por lo tanto, también $e\in H$ y $H\ne \emptyset$.
• Si $a,b\in H$, entonces $ab^{-1}\in H$: De hecho, $a,b\in H$ implica $a,b\in H_1$ ya que $H\subseteq H_1$, por lo tanto $ab^{-1}\in H_1$ porque $H_1$ es un subgrupo. De manera similar, $ab^{-1}\in H_2$ y por lo tanto $ab^{-1}\in H$.

Deberías conocer el criterio de subgrupo: Un subconjunto $H$ de un grupo es un subgrupo si y solo si $H\ne\emptyset$ y $a,b\in H$ implica $ab^{-1}\in H$. Por lo tanto, acabamos de demostrar que $H$ es un subgrupo de $G.