Q. Problema de la regla de Bayes

Question

Imagina que tengo dos eventos $A$ y $B$ . En un día sólo puede ocurrir un acontecimiento y $P(A) = 0.05$ y $P(B) = 0.95$ . Además, que haya otro evento $C$ que ocurre donde, $P(C | A) = 0.8$ y $P(C | B) = 0.1$ . ¿Cómo puedo calcular la probabilidad de $C$ en el primer, segundo y tercer día?

Estoy asumiendo que la regla de Bayes sería buena para esto pero no puedo averiguar la Fórmula exacta para esto.

¿Y si alguno de $A$ o $B$ sólo puede ocurrir en los 3 días? ¿Cambia eso la probabilidad? Es decir, si A ocurre en el día 1, también ocurre en los 3 días. Es sólo una pregunta curiosa.

Answer 1

Puedes utilizar la Ley de la Probabilidad Total. $$P(C)=P(A)\cdot P(C|A)+P(B)\cdot P(C|B)$$

Por lo tanto, para su pregunta, por un día, $P(C)=0.05\cdot0.8+0.95\cdot0.1=0.135$ .

Suponiendo que los días sean independientes, $P(C\text{ happening on first, second, third days})=0.135^3\approx0.00246$ .

Answer 2

Se le ha informado de que cualquier día ( $k\in\{1,2,3,....\}$ ) que: $~ \mathsf P(A_k)=0.05~,$ $~\mathsf P(B_k)=0.95~,$ $~ \mathsf P(C_k\mid A_k)=0.80~$ , $~ \mathsf P(C_k\mid B)=0.10~$ y que $A_k,B_k$ son mutuamente excluyentes (disjuntos), y todos los sucesos son independientes de los sucesos de otros días.

Entonces por la Ley de Probabilidad Total

$$\mathsf P(C_k)~=~\mathsf P(C_k\mid A_k)~\mathsf P(A_k)+\mathsf P(C_k\mid B_k)~\mathsf P(B_k)$$

Luego, por la independencia diaria:

$$\mathsf P(C_1,C_2,C_3) = \mathsf P(C_1) \mathsf P(C_2) \mathsf P(C_3)$$