Pruebas $\det A = 1$

Question

Dado un real invertible $2 \times 2$ matriz $A$ con $A + A^{-1} = I$ Necesito probar que $\det A = 1$ .

Sé cómo demostrarlo $\det A = \frac{1}{\det A^{-1}}$ pero no tengo acceso al hecho de que el determinante de una suma es la suma de los determinantes (sino sólo la multiplicatividad). ¿Hay otra forma de demostrarlo?

Answer 1

Multiplica ambos lados de $A+A^{-1}=I$ por $A$ para obtener $A^2+I=A$ o $A^2-A+I=0$ y ten en cuenta que,

para un $n\times n$ el coeficiente constante del polinomio característico es $(-1)^n\det(A)$ .

Addendum en respuesta al comentario:

He aquí otra manera.

L $A=\pmatrix{a&b\\c&d}$ . Entonces $A^{-1}=\dfrac{\pmatrix{d&-b\\-c&a}}{\det A}.$

$A+A^{-1}=I=\pmatrix{1&0\\0&1}\implies$

$a+\dfrac d{\det A}=1=d+\dfrac a{\det A}$ y $ b-\dfrac b{\det A}=0=c-\dfrac c{\det A}$

$\implies \det A=1$ o $a-d=b=c=0$ pero no podemos tener lo segundo,

desde entonces $\pmatrix{a&0\\0&a}+\pmatrix{a&0\\0&a}^{-1}=I$ implicaría $a+\dfrac1a=1$ que no tiene soluciones reales.

Answer 2

Multiplicar por $A$ : $$ A^2-A+I=0 $$ Multiplicar por $A+I$ : $$ A^3+I=0 $$ Desde $A^3=-I$ obtenemos $$ \det(A)^3=\det(-I)=1 $$ ya que la matriz es $n\times n$ para $n$ incluso.

$A$ es real, por lo que $\det(A)$ es real; es decir, $$ \det(A)=1 $$

Answer 3

Tras multiplicar la ecuación a ambos lados por $A$ obtenemos $$A^2 -A +I=0$$ Por lo tanto un polinomio aniquilador asociado es $$p(\lambda)=\lambda^2 -\lambda +1$$ Observando que tiene grado $2$ y es irreducible sobre $\mathbb{R}$ se deduce que es el polinomio característico. Es evidente que el producto de los valores propios de $A =(-\omega)(-\omega^2)=1=det(A)$ donde $\omega$ denota una tercera raíz de la unidad

Edición:Agradezco mucho las críticas y la ayuda de @Christoph a la hora de encontrar y, en última instancia, intentar rellenar lagunas. Hay otra forma un poco diferente (casi inventada), que es observando que el polinomio característico asociado a $A$ y $A^{-1}$ es idéntico, lo que significa que $det(A)=det(A^{-1})=1/det(A)$ lo que implica que tenemos las posibilidades $det(A)=\pm1$ podemos descartar la $-1$ observando los coeficientes del polinomio característico