Una serie convergente para la función Trigamma $\psi_1(n) =\sum_{k=n}^{\infty} \frac1{k^2} $

Question

Se me acaba de ocurrir lo siguiente serie convergente para la función Trigamma definida por

$\psi_1(n) =\sum_{k=n}^{\infty} \frac1{k^2} $ .

\begin{align*} \psi_1(n) &=\lim_{m \to \infty} \sum_{j=1}^m \frac{(j-1)!}{j\prod_{i=0}^{j-1}(n+i)}\\ &=\frac1{n}+\frac{1}{2n(n+1)}+\frac{2}{3n(n+1)(n+2)}+\ldots\\ \end{align*}

Esto contrasta con la serie asintótica habitual para $\psi_1(n)$ que es asintótica, no converge, e implica la números de Bernoulli.

Estoy seguro de que esto no es nuevo, pero no pude encontrarlo aquí.

Así que.., mis preguntas son, como suele ser el caso,

(1) ¿Es nuevo?

(2) ¿Existe una prueba razonablemente sencilla? (La mía es moderadamente complicada).

Voy a publicar mi prueba en unos días si alguien está interesado.

Gracias

Answer 1

Observe que $\prod_{i=0}^{j-1}(n+i)=\Gamma(n+j)/\Gamma(n)$ para que, como se afirma, \begin{align*} \sum_{j=1}^\infty\frac{(j-1)!}{j\prod_{i=0}^{j-1}(n+i)} &=\sum_{j=1}^\infty\frac1j\mathrm{B}(n,j)\\ &=\sum_{j=1}^\infty\frac1j\int_0^1 t^{n-1}(1-t)^{j-1}\,dt\\ &=\int_0^1 t^{n-1}\frac{-\log t}{1-t}\,dt\\ &=\int_0^1 t^{n-1}(-\log t)\sum_{j=0}^\infty t^j\,dt\\ &=\sum_{k=n}^\infty\int_0^1 t^{k-1}(-\log t)\,dt=\sum_{k=n}^\infty\frac1{k^2}. \end{align*}

Answer 2

Esto no es una prueba, ni una respuesta, pero es demasiado largo para los comentarios.

Sea $$a_j=\frac{(j-1)!}{j\prod_{i=0}^{j-1}(n+i)}=\frac{(j-1)!}{j n (n+1)_{j-1}}\qquad \text{and} \qquad S_m=\sum_{j=1}^m a_j$$

$$\frac{(m+1) \Gamma (n+1) \Gamma (m+n+1)}{\Gamma (n) }S_m=$$ $$(m+1) n \psi ^{(1)}(n) \Gamma (m+n+1)-$$ $$\Gamma (m+1) \Gamma (n+1) \, _3F_2(1,m+1,m+1;m+2,m+n+1;1)$$

Simplificar $$S_m=\psi ^{(1)}(n)-\frac{\Gamma (m+1) \Gamma (n)}{(m+1) \Gamma (m+n+1)} \, _3F_2(1,m+1,m+1;m+2,m+n+1;1)$$

Lo que parece interesante es hacer un gráfico de contorno del segundo término; muestra lo pequeño que es.

También podemos observar que para valores grandes de $m$ $(m\gg n)$ el coeficiente $$\frac{\Gamma (m+1) \Gamma (n)}{(m+1) \Gamma (m+n+1)}\sim \frac{ \Gamma (n) }{m^{n+1}}$$

Desgraciadamente, no he conseguido encontrar la asintótica de la función hipergeométrica.