Me gustaría encontrar conjunto de posibles órbitas elípticas que pasan por 2 puntos del plano . Estuve buscando algunas soluciones en textos de mecánica orbital pero no encontré ninguna.
Hay varios enfoques posibles, pero no estoy seguro de cuál es el mejor: ambos parecen bastante difíciles de resolver algebraicamente.
- utilizando ecuación polar relativa al foco con $(R_1,\phi_1),(R_2,\phi_2)$ siendo las coordenadas de los puntos $$ R_1 = \frac{a(1-e^2)}{1-ecos(\phi_1-\theta)} $$ $$ R_2 = \frac{a(1-e^2)}{1-ecos(\phi_2-\theta)} $$ entonces para $\theta$ resolver el semieje mayor $a$ y excentricidad $e$
- utilizando la deffinición de elipse como conjunto de puntos de la misma distancia desde ambos focos . Dados 2 puntos de coordenadas cartesianas $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ y un foco en origen $(0,0)$ . Para cada parámetro de distancia dado $L$ resolver las coordenadas del segundo foco $(x_f,y_f)$ , $$ L = \sqrt{x_1^2 + y_2^2} + \sqrt{(x_1 - x_f)^2 + (y_1 - y_f)^2} $$ $$ L = \sqrt{x_2^2 + y_2^2} + \sqrt{(x_2 - x_f)^2 + (y_2 - y_f)^2} $$
- También puedo primero rotar el sistema de coordenadas (o mis puntos de entrada) por un ángulo dado (que es mi parámetro arbitrario) y luego usar alguna ecuación simplificada de elipse cuyo eje mayor es paralelo al eje x que sólo tiene 2 grados de libertad. Pero incluso después de esta rotación no veo mucha simplificación de la solución algebraica.
Sin embargo, las ecuaciones resultantes son difíciles de resolver. Las he resuelto con sympy, pero la solución es muy larga y difícil de simplificar. Me gustaría alguna solución más elegante si hay alguna.
También me gustaría implementar esto en el ordenador como parte de la optimización de la transferencia orbital, así que preferiría alguna expresión explícita que sea rápida de evaluar numéricamente ( por ejemplo las funciones goniométricas son bastante lentas de evaluar )
