Existencia de punto aislado.

Question

Supongamos: A es un subconjunto cerrado contable de un espacio métrico completo.

Demuéstralo: A contiene al menos un punto aislado.

(el teorema de la categoría Baire no me lleva más allá de que Int(A) (el interior de A) esté vacío)

Answer 1

Considere $A$ como su propio espacio métrico ahora con la topología del subespacio. Obsérvese que $A$ es completa por lo que se aplica el teorema de la categoría Baire. Supongamos ahora que para cada $x \in A$ , $\{x\}$ es no abierto. En concreto, esto significa que $\{x\}$ no es denso en ninguna parte. Pero como $A$ es contable, $A$ es una unión contable de singletons densos en ninguna parte, por lo que $A$ es escasa. Pero el teorema de la categoría Baire se aplica en $A$ y por el teorema de la categoría Baire, un espacio métrico completo no es exiguo. Así que tenemos una contradicción.