¿Está bien calculada esta ecuación diferencial que tiene como solución esta familia paramétrica de curvas?

Question

Consideremos la siguiente familia de curvas es forma paramétrica:

$$x(t) = a(\cos{t} + t\sin{t})$$ $$y(t) = a(\sin{t} + t\cos{t})$$

Dónde $a\in\mathbb{R^+}$ es una constante, y $t\geq0$ . Encuentre la ecuación diferencial que verifica tales fórmulas familiares.

Entonces, lo que hice, fue diferenciar ambas ecuaciones en términos de t y, a continuación, aislar la constante a de la fórmula diferenciada y volver a introducirla en las ecuaciones originales para eliminar la constante, con lo que obtendremos las fórmulas originales sólo en términos de $x, y, x', y'$ y $t$ .

En primer lugar, me gustaría saber si este proceso es correcto, y si efectivamente da todas las soluciones (si es que es correcto). Las soluciones reales que obtuve son:

$$x'(t)=\frac{x(t)\cdot t}{1+t\cdot\tan{t}}$$ $$y'(t)=\frac{y(t)(2\cos{t}-t\dot\sin{t})}{\sin{t}+t\cdot\cos{t}}$$

Answer 1

La ecuación diferencial para $y$ está mal. $y = a (\sin(t)-t\cos(t))$ no la satisface.

EDIT: con la fórmula modificada para $y$ es correcto.

Otro problema es que no hay ninguna razón por la que el $a$ para una solución de la primera ecuación diferencial debe ser la misma que la $a$ para una solución de la segunda ecuación diferencial.

EDIT: Un sistema de dos ecuaciones diferenciales (no autónomas) para $x'$ y $y'$ tendrá una familia de soluciones de dos parámetros. Aquí quieres una familia de un parámetro. Así que esto no funcionará. Lo que necesitarías serían ecuaciones diferenciales autónomas. Tendrías que eliminar ambos $a$ y $t$ para obtener $x'$ y $y'$ como funciones de $x$ y $y$ . No creo que pueda hacerse de forma cerrada.

En principio se puede (localmente, excepto en las singularidades) escribir $$ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y'}{x'} = f(y/x) $$ para una función $f$ definido implícitamente, es decir $$ \dfrac{2 \cos(t) - t \sin(t)}{t \cos(t)} = f \left( \dfrac{\cos(t)+t\sin(t)}{\sin(t)+t\cos(t)} \right) $$

Sospecho que es el tipo de solución que se espera. Pero, ¿está seguro de que la pregunta es correcta?