Demostración del teorema de Darboux. Preguntas (S.A. pp 137 pregunta 5.2.6)

Question

Leo https://math.stackexchange.com/a/192440/85079 . La intuición está en el último párrafo.

1. Sé cómo demostrarlo. Pero ¿cómo se puede presagiar para definir $g(x) = f(x) - \alpha x$ ?

No sancionado: Oficialmente no se han presentado integrales por lo que creo que t pero sé $\color{magenta}{\int} f'(c) \; dx = \color{magenta}{\int} \alpha \; dx \implies f(c)= \alpha + constant$ .

2. ¿La respuesta a (a) menciona por debajo el Teorema (Fermat = Extremo Interior)? ¿Se deduce (a) de este teorema, ergo no hay necesidad de refutarlo? ¿Por qué Siminore ¿probar (a) de nuevo?

3. Para demostrar $f'(a) \ge 0$ , Siminore toma $\color{darkred}{righthand}$ límite. Para demostrar $f'(a) \ge 0$ , $\color{seagreen}{\text{lefthand}}$ .

¿Por qué? ¿Puedo cambiar? Para probar $f'(a) \ge 0$ Toma $\color{seagreen}{\text{lefthand}}$ ¿en su lugar? Para demostrar $f'(a) \ge 0$ , $\color{darkred}{righthand}$ ?
Lo sé. $g'(x) = \lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {g\left( x+h\right) -g\left( a\right) } {h}$ existe $\iff$ límite izquierdo = límite derecho.

Answer 1

Espero haber entendido bien sus preguntas.

1. La función $g$ se introduce sólo "para simplificar las cosas" (como se ha escrito antes). Satisface $g'(a)<0<g'(b)$ y el problema original es equivalente a encontrar algún punto $c$ tal que $g'(c)=0$ .

2. Siminore demuestra directamente que el punto $c$ existe. La parte (a) de su ejercicio pretende ayudarle a encontrar dónde se encuentra este punto $c$ viene de. Para demostrar que $x$ y $y$ como existen arriba, utilice la definición de diferenciabilidad. Se puede escribir $g(x)=g(a)+(x-a)g'(a)+(x-a)\varepsilon (x)$ donde $\varepsilon (x)\to 0$ como $x\to a^+$ . Desde $g'(a)<0$ puede encontrar $\delta >0$ tal que $g'(a)+\varepsilon(x)<0$ para cada $x\in[0,\delta)$ . Entonces $g(x)=g(a)+(x-a)(g'(a)+\varepsilon(x))<0$ para cada $x\in (0,\delta)$ . Del mismo modo, encontrará que $g(y)<g(b)$ para cada $y<b$ lo suficientemente cerca de $b$ .

3. Siminore no habla de min locales. Su argumento es que la función $g$ alcanza su máximo el $[a,b]$ y que no puede estar en $a$ o $b$ . Así que se alcanza en algún $c\in (a,b)$ y por lo tanto se puede utilizar el teorema de Fermat. En tu caso, es exactamente lo mismo, salvo que tienes que decir que tu función $g$ alcanza su mínimo en algún momento $c\in [a,b]$ . Por la parte (a) de su ejercicio, $c$ no puede ser igual a $a$ ni a $b$ así que $c\in (a,b)$ y por lo tanto se puede aplicar Fermat.