Al pasar de un Lagrangiano dado a un Hamiltoniano para un campo fermiónico, utilizamos la siguiente fórmula. $$ H = \Sigma_{i} \pi_i \dot{\phi_i} - L$$ donde $\pi_i = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\phi_i}} $ En un Lagrangiano que involucra campos fermiónicos dado por, $$ L = \dfrac{1}{2}(\bar{\psi_i} \dot{\psi_j} - \dot{\bar{\psi_i}} \psi_j)$$ un cálculo directo da $\pi_{\psi_j} = -\dfrac{1}{2}\bar{\psi_i}$ y $\pi_{\bar{\psi_i}} = -\dfrac{1}{2}\psi_j$ . Pero al añadir una derivada total $\dfrac{1}{2} \dfrac{d}{dt} (\bar{\psi_i} \psi_j)$ al Lagrangiano (lo que siempre se puede hacer ya que la acción no cambiará) pero $\pi$ es diferente. Así que el Hamiltoniano también cambia. ¿Cómo resolvemos el problema?
Respuestas
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Los momentos canónicos no cambian si añades una derivada total al Lagrangiano.
La derivada total particular que querías añadir a la lagrangiana así como la propia lagrangiana tiene libre $i,j$ índices. Seguramente te referías a otra cosa, porque la lagrangiana no debería tener índices libres como esos. Permíteme suponer que querías decir que ambas expresiones se suman con la suma y el prefactor $\sum_{ij} c_{ij}$ . O puede que realmente quisieras decir que el Lagrangiano es un monomio para valores fijos de $i,j$ .
Pero esa no es la cuestión aquí. El error relevante para tu pregunta es que consideraste un espacio de fase que tiene coordenadas $\psi_j$ , $\bar\psi_i$ , $\pi_{\psi_i}$ y $\pi_{\bar\psi_j}$ y crees que son coordenadas independientes en el espacio de fase. Serían demasiadas coordenadas en el espacio de fase para un sistema tan limitado.
Bueno, no son independientes. La derivación correcta, usando cualquier forma del Lagrangiano que quieras, te dará $\pi_{\psi_i}=-\bar \psi_i$ (¡sin una mitad; y ecuaciones que pueden obtenerse por simples conjugaciones a partir de ésta!) por lo que significa que la "misma" no diferenciada $\psi$ también son sus propios momentos.
Si reescribes la Lagrangiana de tal manera que se elimine la notación redundante, es decir, que no pienses que las coordenadas que son dependientes son en realidad independientes (este es el error que hizo que acabaras con los momentos canónicos siendo 1/2 de su valor correcto; por ejemplo, utilizaste incorrectamente $\partial\dot{\bar\psi_i} / \partial \psi_j = 0$ lo cual no es cierto, en el primer momento que mencionas), verás que $$\frac{\partial L}{\partial \dot\psi_j }=-\bar\psi_i$$ si uso tu confusa no-sumación sobre $i,j$ . No hay ningún factor de 1/2. De hecho, para derivar esto sin problemas, es útil reescribir primero el Lagrangiano como $\bar\psi_i\dot\psi_j$ añadiendo la derivada total correspondiente. Esta forma es única porque no contiene $\dot{\bar\psi_i}$ y no $\psi_j$ por lo que sólo se expresa en función del 1/2 independiente de los grados de libertad.
Ni que decir tiene que el Hamiltoniano es cero si el Lagrangiano fermiónico sólo contiene el término cinético con la derivada temporal.
Stefano
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No está del todo claro qué lagrangiano tiene en mente OP. Aquí asumiremos que el Lagrangiano dice
$$ L~=~\frac{i}{2} g_{IJ} \left(\overline{\psi}^I \dot{\psi}^J-\dot{\overline{\psi}}^I \psi^J \right) + \frac{1}{2} h_{IJ} \left(\overline{\psi}^I \dot{\psi}^J+\dot{\overline{\psi}}^I \psi^J \right), \tag{1}$$
donde $\psi^{I}$ es un campo escalar complejo de Grassmann-impar, y $\overline{\psi}^I$ es el campo complejo conjugado. (Esta elección se inspira en parte en uno de los artículos de OP otros preguntas de Phys.SE). Las métricas son constantes
$$ g_{JI}~=~g_{IJ}~=~\overline{g}_{JI}, \qquad h_{JI}~=~h_{IJ}~=~\overline{h}_{JI}. \tag{2}$$
El segundo término del Lagrangiano (1) es un término de derivada total. Se incluye sólo por diversión para ver cómo no afecta al procedimiento de cuantización. Para derivar el formalismo hamiltoniano, utilizaremos una versión Grassmann-impar de este Respuesta de Phys.SE. (Recomendamos que el lector se familiarice con el modelo Grassmann-par en esa respuesta antes de intentar comprender el modelo Grassmann-impar en esta respuesta).
Las relaciones canónicas de anticonmutación (CAR) son las siguientes
$$ \{\psi^I, \pi_J \}_{PB}~=~\delta^I_J~=~\{\overline{\psi}^I, \overline{\pi}_J \}_{PB} ,\tag{3}$$
$$ \{\overline{\psi}^I, \pi_J \}_{PB}~=~0~=~\{\psi^I, \overline{\pi}_J \}_{PB} .\tag{4}$$
Los momentos Grassmann-impar vienen dados por las derivadas derechas de la Lagrangiana
$$ \pi_I~:=~L\frac{\stackrel{\leftarrow}{\partial^r}}{\partial \dot{\psi}^I}~=~\frac{1}{2}\overline{\psi}^J(i g_{JI}+h_{JI}), \tag{5}$$
$$ \overline{\pi}_I~:=~L\frac{\stackrel{\leftarrow}{\partial^r}}{\partial \dot{\overline{\psi}}^I} ~=~\frac{1}{2}(i g_{IJ}-h_{IJ})\psi^J.\tag{6}$$
El Hamiltoniano es idénticamente cero,
$$ H~:= ~ \pi_I\dot{\psi}^I+\overline{\pi}_I\dot{\overline{\psi}}^I - L~=~0.\tag{7} $$
Las ecuaciones (5) y (6) dan lugar a dos restricciones principales
$$ 0~\approx~\chi_I~:=~\pi_I-\frac{1}{2}\overline{\psi}^J(i g_{JI}+h_{JI}), \tag{8}$$
$$ 0~\approx~\overline{\chi}_I~:=~\overline{\pi}_I-\frac{1}{2}(i g_{IJ}-h_{IJ})\psi^J.\tag{9}$$
Son, a su vez, limitaciones de segunda clase,
$$ \{\chi_I, \overline{\chi}_J \}_{PB}~=~-ig_{IJ}~=~\{\overline{\chi}_I, \chi_J \}_{PB} ,\tag{10}$$
$$ \{\chi_I, \chi_J \}_{PB}~=~0~=~\{\overline{\chi}_I, \overline{\chi}_J \}_{PB} ,\tag{11}$$
independiente del $h_{IJ}$ métrico.
En Soporte de Dirac se convierte en
$$\begin{align}\{f, g \}_{DB}~:=~& \{f, g \}_{PB}- i\{f, \chi_I\}_{PB}g^{IJ}\{ \overline{\chi}_J,g\}_{PB}\cr &- i\{f, \overline{\chi}_I\}_{PB}g^{IJ}\{ \chi_J,g\}_{PB}.\end{align}\tag{12}$$
En otras palabras, las relaciones de anticonmutación de Dirac se convierten en
$$ \{\psi^I, \overline{\psi}^J \}_{DB}~=~-ig^{IJ}~=~\{\overline{\psi}^I, \psi^J \}_{DB} ,\tag{13}$$
$$ \{\psi^I, \psi^J \}_{DB}~=~0~=~\{\overline{\psi}^I, \overline{\psi}^J \}_{DB} ,\tag{14}$$
de acuerdo con el método Faddeev-Jackiw. Las relaciones de anticonmutación de operadores correspondientes son
$$ \{\hat{\psi}^I, \hat{\overline{\psi}}^J \}_{+}~=~\hbar g^{IJ}~=~\{\hat{\overline{\psi}}^I, \hat{\psi}^J \}_{+} ,\tag{15}$$
$$ \{\hat{\psi}^I, \hat{\psi}^J \}_{+}~=~0~=~\{\hat{\overline{\psi}}^I, \hat{\overline{\psi}}^J \}_{+} .\tag{16}$$
