Cómo tener en cuenta la identidad algebraica de Bianchi al calcular el número de componentes independientes del tensor de curvatura de Riemann

Question

Entiendo que el tensor de curvatura de Riemann tiene las siguientes propiedades de simetría:

Antisimetría en los dos últimos índices: $$R_{a b c d}=-R_{a b d c}$$

Simetría en el primer par de índices con el segundo par de índices: $$R_{a b c d}= R_{c d a b}$$

Identidad algebraica de Bianchi: $$R_{a b c d}+R_{c a b d} +R_{b c a d}=0$$

En $N$ dimensiones, puedo tener ${ }^{N} C_{2}$ opciones para $c$ & $d$ (de lo contrario, no pueden ser iguales $R_{abcd}$ será cero).

Combinando la primera y la segunda propiedad de simetría, podemos decir que $R_{abcd}$ es antisimétrico en $a$ & $b$ también. Así que hay ${ }^{N} C_{2}$ para el primer par de índices.

Basado en la segunda propiedad de simetría:

Podemos tener ${ }^{N} C_{2}$ opciones para el primer par de indicies. Entonces podemos tener ${ }^{N} C_{2}-1$ diferente de la primera opciones para el segundo par. Hay simetría de intercambio de pares, así que en total tenemos $\frac{1}{2}{ }^{N} C_{2}({ }^{N} C_{2}-1)$ componentes independientes cuando el primer y segundo par difieren. Tenemos ${ }^{N} C_{2}$ opciones en las que son iguales. Entonces, sin tener en cuenta la identidad algebraica de Bianchi tenemos $\frac{1}{2}{ }^{N} C_{2}({ }^{N} C_{2}+1)$ independiente para el tensor de curvatura de Riemann.

En la identidad algebraica de Bianchi, todos los indicies tienen que ser diferentes. Hay entonces ${ }^{N} C_{4}$ diferentes opciones que tenemos. Esta respuesta simplemente resta este número del resultado anterior, y obtiene la respuesta correcta:

$$\frac{1}{2}{ }^{N} C_{2}({ }^{N} C_{2}+1) - { }^{N} C_{4} = \frac{n^{2}\left(n^{2}-1\right)}{12}$$

La igualdad puede establecerse después de unas pocas líneas de álgebra, o trazando el RHS & LHS y concluyendo que son iguales. He aquí una trama de este tipo.

¿Por qué no podemos restar este número del resultado anterior? Esta es la parte que no entiendo.

Answer 1

Tus pensamientos son correctos en cuanto a la primera parte, las dos primeras condiciones del tensor de curvatura te dan $\frac{1}{2}{ }^{N} C_{2}({ }^{N} C_{2}+1)$ opciones para $a,b,c,d$ . Denotemos por $\mathfrak{B}(V^*)$ el subespacio lineal de todo tensor de curvatura que satisfaga tus dos primeras condiciones, y no la identidad de Bianchi, y por $\mathfrak{T}(V^*)$ el espacio de todos los tensores covariantes $(0,4)$ .

Esto significa que por su argumento, $\mathfrak{B}(V^*)$ tiene dimensión $\frac{1}{2}{ }^{N} C_{2}({ }^{N} C_{2}+1)$ . Consideremos ahora el mapa lineal $\pi: \mathfrak{B}(V^*) \rightarrow \mathfrak{T}(V^*)$ dada por $$ \pi(T)(w,x,y,z)=\frac{1}{3}(T(w,x,y,z)+T(x,y,w,z)+T(y,w,x,z)). $$ Por lo tanto, se tiene que el espacio de todos los tensores de curvatura (es decir, el espacio de $(0,4)$ satisfaciendo todas las propiedades que escriba) es el núcleo de este mapa. Así que por el teorema clásico del álgebra lineal, sólo tienes que calcular la dimensión de la imagen de ese mapa, que será ${ }^{N} C_{4} $ (porque es el conjunto de alternancias $4$ -tensores covariantes), y restarlo al número que calcule para obtener el resultado. Esa es la razón formal por la que puedes restar ese número.

Este argumento que escribí es parte de la prueba general que puedes encontrar en Introducción a las variedades riemannianas por John M. Lee, proposición 7.21, página 212.

Para recordarlo más fácilmente, utilizo este truco (NO FORMAL): Tengo $n^4$ posibilidades, pero por la antisimetría de los dos últimos índices, puedo restar $n^2$ opciones, así que tengo $n^4-n^2$ en total. Pero por la segunda restricción, debo dividir este número por dos debido a que están relacionados $2\leftrightarrow2$ Así que tengo $$ \frac{n^4-n^2}{2} $$ y entonces, por la identidad de Bianchi, sólo tengo que quitar la suma de permutaciones cíclicas de $3$ indixes, así que divido por 6. RECUERDA esto es sólo un truco que uso recordar la fórmula, nada formal.