Digamos que empiezas con un $n \times n$ matriz. Aquí $n=2$ .
La ecuación de definición de los vectores propios/valores propios es $Au=\lambda u$ o $(A-\lambda I)u = 0$ .
Esto significa que, dado un valor propio $\lambda$ se buscan los vectores no nulos $u$ tal que $(A-\lambda I)u=0$ . Esto sólo puede ocurrir si $A-\lambda I$ no es regular, es decir, su rango es menor que $n$ .
¿Qué ocurre entonces? Los vectores propios forman un subespacio de $\Bbb R^n$ (o $\Bbb C^n$ si trabaja en $\Bbb C$ ).
Este subespacio es al menos de dimensión $1$ lo que ocurre si $A-\lambda I$ tiene rango $n-1$ . En ese caso, tendrá $n-1$ ecuaciones a resolver, y un "grado de libertad", es decir, un parámetro: por tanto, un subespacio de 1 dimensión.
Si el rango de $A-\lambda I$ es menor, el subespacio de vectores propios asociado al valor propio $\lambda$ será mayor, y tendrás más parámetros, y menos ecuaciones que resolver. Si $\mathrm{rank} (A-\lambda I)=k$ entonces al resolver para $(A-\lambda I)u=0$ se puede resolver para $k$ ecuaciones, y queda $n-k$ o un subespacio de dimensión $n-k$ .
Si la matriz $A$ es diagonalizable, todos sus espacios propios abarcarán la totalidad de su espacio lineal, pero esto no siempre ocurre. Sólo ocurre si, para un valor propio de multiplicidad $j$ el eigespacio tiene dimensión $j$ . Si $j=1$ siempre hay al menos un vector propio, pero pueden surgir problemas cuando $j>1$ para algún valor propio. Obsérvese que la multiplicidad de $\lambda$ es la potencia $j$ de $(t-\lambda)$ en la factorización del polinomio característico, que a su vez es $\chi_A(t)=\det(A-tI_n)$ . Lo único que se sabe con seguridad es que el rango de $A-\lambda I$ es menor o igual que la multiplicidad de $\lambda$ . Siempre es igual cuando esta multiplicidad es $1$ . Por cierto, esto también significa que si una matriz sólo tiene valores propios simples (es decir, todos tienen multiplicidad $1$ ), entonces siempre es diagonalizable.
Por lo tanto, si $A$ es diagonalizable, los vectores propios forman una base $P$ de su espacio lineal, y se puede escribir $A=P^{-1}DP$ .
Por ejemplo, una matriz triangular superior con sólo $1$ en la diagonal no puede ser diagonalizable si hay algún elemento no nulo por encima de la diagonal. Eso es porque cuando se diagonaliza, esta matriz sería necesariamente la identidad (los elementos de la diagonal son los valores propios). Sin embargo, sólo la identidad puede dar lugar a una matriz diagonalizada con identidad, ya que la ecuación $A=P^{-1}DP$ cedería con $D=I$ , $A=P^{-1}P=I$ también.
Con $2\times2$ matrices, es más sencillo: o bien un eigespacio tiene dimensión $1$ (y por lo tanto sólo hay una ecuación que resolver, como has notado), o bien tiene dimensión $2$ y la matriz inicial $A$ era diagonal (la misma razón que la anterior).
Eso no significa que un $2\times2$ es siempre diagonalizable: todavía se da el caso de que tenga un valor propio de multiplicidad $2$ pero un eigespacio de dimensión $1$ por ejemplo:
$$A=\left(\begin{matrix}\lambda & 1\\ 0 & \lambda\end{matrix}\right)$$
Entonces hay un valor propio ( $=\lambda$ ) con multiplicidad $2$ y
$$A-\lambda I=\left(\begin{matrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{matrix}\right)$$
Por lo tanto, habría que resolver para
$$\left(\begin{matrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u \\ v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0 \\ 0\end{matrix}\right)$$
Y se obtiene la ecuación $v=0$ . Esto significa que el eigespacio asociado a $\lambda$ tiene una dimensión, con un vector propio $\left(\begin{matrix}1 \\ 0\end{matrix}\right)$ .