¿Factorizar una matriz si está siendo multiplicada por un vector?

Question

Estoy bastante seguro de que podemos hacer lo siguiente, pero quiero confirmarlo.

A $\vec x_1$ + A $\vec x_2$ + A $\vec x_3$ + A $\vec x_4$ = A( $\vec x_1$ + $\vec x_2$ + $\vec x_3$ + $\vec x_4$ )

Answer 1

Si los vectores (columna) $\vec x_i$ son $1 \times n$ matrices, supongamos primero que $A$ es un $n \times 1$ matriz, es decir, un vector de filas, digamos $\{a^i\}$

así que en este caso (usando una suma de dos vectores para empezar, y usando el subíndice para indicar los componentes escalares, en lugar de vectores diferentes) $$ A\vec y = \sum_i a^iy_i $$ un escalar. se puede ver que $$ A(\vec y + \vec z) = \sum_i a^i (y_i+z_i) = \sum_i a^i y_i+\sum_i a^i z_i = A\vec y + A\vec z $$ si esto es cierto para una fila, obviamente es cierto para cualquier número de filas $A$ ahora demuestre que este linealidad se extiende fácilmente a una matriz que multiplica una suma de más de dos vectores.