Composición de dos rotaciones eje-ángulo

Question

Tenga en cuenta que soy no en referencia a Ángulos de Euler de la forma (,,). Me refiero a la representación eje-ángulo , en el que un vector unitario indica el eje de dirección de una rotación y un escalar la magnitud de la rotación.

Sea $(\hat{n_1},\theta_1)$ se refieren a la primera rotación y $(\hat{n_2},\theta_2)$ se refieren a la segunda rotación. ¿Cuál es el valor de la primera rotación seguida de la segunda rotación, en representación eje-ángulo?

Entiendo que la composición de dos rotaciones representadas por cuaterniones $q_1$ y $q_2$ es igual a su producto $q_2q_1$ . ¿Existe alguna forma de hallar la composición de rotaciones eje-ángulo (sin tener que convertirlas a cuaterniones, multiplicarlas y volver a convertirlas a eje-ángulo) de forma similar? ¿Existe una fórmula simplificada para esta operación?

Answer 1

La fórmula figura en este extracto de un artículo de revista. Lo descubrió el matemático francés Olinde Rodrigues en 1840, antes de que se inventaran los vectores e incluso los cuaterniones (que se inventaron antes que los vectores).

La composición de $\alpha\hat{l}$ y $\beta\hat{m}$ (donde se aplica la segunda rotación y luego se aplica la primera) viene dada por $\gamma\hat{n}$ donde $\cos\frac{\gamma}{2} = \cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\hat{l}\cdot\hat{m}$ y $\sin\frac{\gamma}{2}\hat{n}=\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\hat{l}+\cos\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\hat{m}+\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\hat{l}\times\hat{m}$ .

Como comprobación de cordura, es fácil ver que cuando $\hat{l}=\hat{m}$ entonces es fácil ver que $\gamma=\alpha+\beta$ y $\hat{n}= \hat{l}=\hat{m}$ .

En cualquier caso, estas fórmulas se demuestran en detalle en el capítulo 9 secciones 2-4 del libro de Simon Altmann "Rotaciones, cuaterniones y grupos dobles", pero básicamente se reduce a este triángulo esférico:

Ver también este resultado relacionado demostrada por William Rowan Hamilton tras inventar los cuaterniones.

Answer 2

Hice una investigación original usando Mathematica, y esta fue la forma más simple que pude encontrar.

Dados dos ángulos de eje $\vec{a}$ y $\vec{b}$ con $a = \|\vec{a}\|$ y $b = \|\vec{b}\|$

El vector resultante tiene la longitud

$c = \cos^{-1}\left(\cos a \cos b - (\hat{a} \sin a) \cdot (\hat{b} \sin b)\right)$

y está en la dirección

$d = (\cos a) (\hat{b} \sin b) + (\cos b) (\hat{a} \sin a) + (\hat{a} \sin a) \times (\hat{b} \sin b)$

Así que

$C = c \hat{d}$

donde $\hat{x} = \vec{x} / |x|$ . No es muy monstruoso, pero me llevó varias horas de simplificar y pinchar.

Answer 3

No creo que lo haya sin pasar por alguna representación alternativa (cuaternión, matriz, ...). Esta es una de las desventajas conocidas de eje-ángulo en comparación con los demás, mientras que una ventaja es la trivialidad de la inversión (simplemente negar el ángulo o el eje).

Answer 4

El procedimiento de los cuaterniones es probablemente el más sencillo, fácil de aplicar y más económico desde el punto de vista informático.

En la práctica, lo más probable es que todo esto se haga en un ordenador, y calcular el producto de dos cuaterniones (en el gran esquema de las cosas) no es mucho más difícil que dos números reales o dos números complejos. I piense en la multiplicación es más eficiente desde el punto de vista informático que multiplicar dos $3\times 3$ matrices, al menos.

En realidad, si te sientas y trabajas la solución del cuaternión, probablemente puedas elaborar una fórmula completamente en términos de las coordenadas del $n_i$ y los ángulos $\theta_i$ . Sería monstruoso, pero sería totalmente en términos de sus datos (y tal vez funciones trigonométricas inversas.)

Answer 5

No estoy seguro de si esto es más simple o más complejo. Esto reelabora las fórmulas para combinar los ángulos antes de tomar el sen/cos. Yo había empezado con esto... https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation#The_composition_of_spatial_rotations y terminé alimentando los parciales a wolfram alpha, y obteniendo funciones equivalentes.

https://github.com/d3x0r/stfrphysics#live-demos implementan este método; es equivalente.

dado

• ${Q} = [n,\theta]$ n es un vector normal/eje de rotación

• ${P} = [n,\theta]$ $\theta$ es el ángulo de rotación, a menudo positivo.

• resultado compuesto, de Q girado alrededor de P.

  • $ R_{\theta} = 2 cos^{-1}(\frac { {\cos (\frac {{ Q_\theta} - P_{\theta}} 2)}( 1 - (Q_n \cdot P_n) ) + {\cos (\frac {{ Q_\theta} + P_{\theta}} 2) }(1+(Q_n \cdot P_n)) } 2 ) $

  • $ R_n = ( Q_n \times P_n ) ({\cos (\frac {{ Q_\theta} - P_{\theta}} 2)}-{ \cos (\frac {{ Q_\theta} + P_{\theta}} 2) }) + P_n ({\sin (\frac {{ Q_\theta} + P_{\theta}} 2)}+{\sin (\frac {{ Q_\theta} - P_{\theta}} 2)}) + Q_n ({\sin (\frac {{ Q_\theta} + P_{\theta}} 2)}-{\sin (\frac {{ Q_\theta} - P_{\theta}} 2)}) $

-o-

• $ A = Q_n \cdot P_n $

• $ B = \cos \frac {{ Q_\theta} + P_{\theta}} 2 $

• $ C = \cos \frac {{ Q_\theta} - P_{\theta}} 2 $

• $ D = \frac { C( 1 - A ) + B(1+A) } 2 $

• $ {Result}_{\theta} = 2 \arccos( D ) $

si $ {Result}_{\theta} = 0 $

• entonces las dos rotaciones son coincidentes el eje se deja sin modificar.

si no

• $ E = \sin \frac {{ Q_\theta} + P_{\theta}} 2 $
• $ F = \sin \frac {{ Q_\theta} - P_{\theta}} 2 $
• $ G = ( Q_n \times P_n ) (C-B) + P_n (E+F) + Q_n (E-F) $
• $ {Result}_n = \frac G {||G||} $

$ {Result} = Result_{\theta} {Result}_n $