Estoy leyendo el siguiente teorema:
No entiendo qué puede fallar si se omite la parte que he marcado en verde. Creo que puede omitirla y sustituir la penúltima frase por esta otra:
"Entonces $f^{-1}(A)$ y $f^{-1}(B)$ son conjuntos disjuntos, cuya unión es $X$ ; están abiertos en $X$ porque $f$ es continua y no vacía porque $A\cup B=Z=f(X)$ ."
¿O me estoy perdiendo algo?
Es sólo conveniencia. Si consideras el subespacio $f(X)$ integrado en $Y$ no se puede decir simplemente "Supongamos $f(X) = A\cup B$ es una separación de $f(X)$ en dos conjuntos abiertos no vacíos", ya que $f(X)$ generalmente no está abierto en $Y$ . Hay que decir "relativamente abierto", y luego señalar que la preimagen de un subconjunto relativamente abierto de $f(X)$ está abierto en $X$ o tomar una cobertura de $f(X)$ por conjuntos abiertos, $f(X) \subset A\cup B$ donde $A,B$ son conjuntos abiertos en $Y$ con $A\cap B \cap f(X) = \varnothing$ y $A\cap f(X) \neq \varnothing \neq B\cap f(X)$ . No hay mucha diferencia con considerar el mapa suryectivo inducido a $Z=f(X)$ de cualquier manera.
En este caso, debido a la fuerte conexión entre la función continua $f$ y el subespacio $Z$ de $Y$ bajo consideración, tu cambio funcionaría, con un poco de argumentación extra.
Recordemos que la definición de desconexión de un subconjunto $Z$ de un espacio $Y$ es:
hay subconjuntos abiertos $U , V$ de $Y$ tal que
- $Z \subseteq U \cup V$ y
- $U \cap Z \neq \varnothing \neq V \cap Z$
- $(U \cap V ) \cap Z \neq \varnothing$ .
Por supuesto, esto equivale a decir que $Z$ está desconectado (en la topología del subespacio).
Ahora considerarías $f^{-1} [ U ]$ y $f^{-1} [ V ]$ y concluir que son subconjuntos abiertos disjuntos de $X$ cuya unión es $X$ . Que son abiertas se deduce de la continuidad de $f$ . Que su unión es $X$ se deduce del hecho de que $U \cup V \supseteq f [ X ]$ . Pero concluir que $\varnothing = f^{-1} [ U ] \cap f^{-1} [ V ] = f^{-1} [ U \cap V ]$ tenemos que argumentar un poco más para llegar a la conclusión de que está vacío (ya que no es necesariamente cierto que $U \cap V = \varnothing$ . Ese extra es algo así como
Claramente $f^{-1} [ U \cap V ] = f^{-1} [ ( U \cap V ) \cap f[X] ]$ y puesto que $Z = f[X]$ y $( U \cap V ) \cap Z = \varnothing$ se deduce que $f^{-1} [ U \cap V ] = f^{-1} [ \varnothing ] = \varnothing$ .
Un pequeño tecnicismo que añade un poco de complejidad innecesaria a la prueba, en mi opinión.
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