¿Es toda cubierta abierta de una variedad lisa más fina que una cubierta construida a partir de la unión de conjuntos abiertos disjuntos?

Question

Sea $M$ sea una variedad lisa de dimensión finita y $M=\bigcup_{i\in I}U_i$ una cubierta abierta de $M$ .

¿Existe una cubierta abierta finita $M=\bigcup_{k=0}^l V_k$ tal que cada $V_k$ es la unión disjunta de subconjuntos abiertos $V_k=\bigcup_{j\in J}V_{k,j}$ y cada $V_{k,j}$ yace en una $U_i$ ?

Traté de atacar este problema con la ayuda de una triangulación, tal que todos los símples se encuentran en una $U_i$ pero no tuvo éxito.