Demostrar la divisibilidad de secuencias

Question

Para $a_n=6^{(2^n)}+1$ ¿cómo puedo demostrar que $a_n\mid(a_{n+1}-2)$ ?

Answer 1

Observe que $$a_{n+1}-2=6^{2^{n+1}}+1-2$$ $$=6^{2^{n}\cdot2}-1$$ $$=\left(6^{2^{n}}\right)^2-1$$ $$=\left(6^{2^{n}}-1\right)\left(6^{2^{n}}+1\right)$$ $$=a_n\left(6^{2^{n}}-1\right)$$ Así que.., $\left(a_{n+1}-2\right)$ es múltiplo de $a_n$
$\therefore$ $$a_{n+1}-2=a_n\left({6^2}^n-1\right)$$