Resolver $f\left(\frac{x-3}{x+1}\right)+f\left(\frac{x+3}{x+1}\right)=x$ $\forall x\neq -1$

Question

Dada la función $y=f(x)$ tal que $$f\left(\frac{x-3}{x+1}\right)+f\left(\frac{x+3}{x+1}\right)=x \quad\forall x\neq -1$$ encontrar$f(x)$$f(2007)$.

Answer 1

Con $$f(x) = \frac{x+3}{x-1}-\frac{3}{2}$$ tenemos $$a := f\left(\frac{x-3}{x+1}\right) = -x-\frac{3}{2}$$ y $$b := f\left(\frac{x+3}{x+1}\right)=2x+\frac{3}{2}$$ Por lo tanto, la suma es $a+b=x$ $f(2007)=-\frac{999}{2006}.$

Editar con respecto a los comentarios: Mi función $f(x)\,$ es una solución de la ecuación funcional (FE). El camino a la era de la siguiente manera: Si la FE es válida para todas las $x\ne -1\;$ y se enchufa en un gran $x$ en la FE, se ve que debe haber una singularidad en $x=1.\;$ Haciendo el ansatz $f(x) = \frac{g(x)}{x-1}+\cdots$ y reproducción de cerca con Arce llega a la función dada.

Si el OP tiene una función diferente resolución de la FE, esto sólo muestra que hay al menos dos soluciones.

Answer 2

A continuación se muestran los siguientes

La reclamación. Deje $y_0\in\mathbb R$ ser arbitraria. Entonces existe una función continua $f\colon\mathbb R\setminus\{1\}\to \mathbb R$ tal que $$f\left(\frac{x-3}{x+1}\right) +f\left(\frac{x+3}{x+1}\right)=x\qquad\text{for all $x\ne -1$}$$ y $f(2007)=y_0$.

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Deje $g_0\colon[1,4]\to\mathbb R$ ser una función continua con $$\tag0g_0(4)=12+g_0(1).$$ Dada una función continua $g_k\colon[4^{-k},4^{k+1}]\to\mathbb R$, $k\ge 0$, con $$\tag1 g_k(4x)=12x+g_k(x)\qquad\text{whenever $x,4x\in[4^{-k},4^{k+1}]$},$$ podemos definir a la $g_{k+1}\colon[4^{-k-1},4^{k+2}]\to\mathbb R$ por $$ g_{k+1}(x)=\begin{cases}g_k(x)&\text{if $4^{-k}\le x\le4^{k+1}$}\\ g_k(4x)-12x&\text{si $4^{-k-1}\le x\le4^{k}$}\\ g_k(x/4)+3x&\text{si $4^{-k+1}\le x \le 4^{k+2}$} \end{casos}$$ De hecho, los casos que cubren todo el dominio deseado, es decir,$$[4^{-k},4^{k+1}]\cup [4^{-k-1},4^{k}] \cup [4^{-k+1},4^{k+2}]= [4^{-k-1},4^{k+2}]$$ if $ k\in\mathbb N_0$ and $(1)$ garantiza que el solapamiento entre los casos no es perjudicial. Por otra parte, siempre que $x,4x\in[4^{-k-1},4^{k+2}]$, uno de los tres casos cubre tanto $x$$4x$, de modo que $(1)$ $k\leftarrow k+1$ mantiene. Desde $g_{k}$ es la restricción de $g_{k+1}$ a de su dominio, podemos definir a la $g\colon(0,\infty)\to\mathbb R$ $$ g(x)=g_k(x)\qquad \text{for any $k\in\mathbb N_0$ with $x\in[4^{-k},4^{k+1}]$}.$$ A continuación, $g$ es continua y $$\tag2g(4x)=12x+g(x)\qquad \text{for all $x>0$}.$$ Definir $h\colon\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R$ $$ h(x)=\begin{cases}g(x)&\text{if $x>0$}\\2x-1-g(-x/2)&\text{if $x<0$}\end{cases}$$ Entonces tenemos $$\tag3h(2x)=4x-1-h(-x)\qquad\text{for all $x\ne0$}. $$ De hecho, esto sigue para $x>0$ $$h(2x)+h(-x)=g(2x)+2(-x)-1-g(x/2)\stackrel{(2)}=6x+g(x/2)-2x-1-g(x/2) =4x-1$$ y para $x<0$ a partir de $$ h(2x)+h(-x)=4x-1-g(-x)+g(-x)=4x-1.$$

Definir finalmente, $f\colon\mathbb R\setminus\{1\}\to \mathbb R$ $$ f(x)=h\left(\frac1{x-1}\right).$$ A continuación, para todos los $x\ne-1$, tenemos $$\tag4\begin{align}f\left(\frac{x-3}{x+1}\right) +f\left(\frac{x+3}{x+1}\right)&=h\left(-\frac{x+1}{4}\right)+h\left(\frac{x+1}{2}\right)=x. \end{align}$$ Viceversa, cualquier $f$ como este nos permite definir $h(x)=f(1+\tfrac 1x)$ $x\ne0$ tal que $(4)$ implica $(3)$; a continuación, defina $g(x)=h(x)$ $x>0$ que $(3)$ implica $(2)$; definir finalmente,$g_0(x)=g(x)$$1\le x\le 4$, por lo que $2)$ implica $0)$.

Así que esto nos da una gran familia de soluciones, una para cada elección de continuo $g_0$$(0)$. Específicamente, para cualquier $x_0\in[1,4]$ $y_0\in\mathbb R$ existe $g_0$$g_0(x_0)=y_0$. De $f(2007)=h(\frac1{2006})=g(\frac1{2006})$ encontramos el uso de $(2)$ que $f(2007)$ es una constante plus $g_0(\frac{4^6}{2006})$ y, por tanto, $f(2007)$ puede asumir cualquier valor arbitrario.

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Comentario: no Podemos esperar que las soluciones a ser "más exclusivos" mediante la adición de supuestos tales como que $f$ es continua en todos los de $\mathbb R$: que requeriría Que $\lim_{x\to\pm\infty}h(x)$ existe, lo que no es posible de acuerdo a $(3)$.

Answer 3

Recibo una respuesta para su pregunta, pero no estoy seguro de que mi respuesta es única. Creo que la exclusividad de la solución es todavía para ser probado.

En primer lugar quiero hacer algunos conceptos básicos de la transformación a que el origen de la ecuación: $$f(1-\frac{4}{1+x})+f(1+\frac{2}{1+x})=x$$ Deje $y=\frac{2}{1+x}$, la ecuación se puede transformar en: $$f(1-2y)+f(1+y)=\frac{2}{y}-1 \;where \;y\neq 0$$ De nuevo vamos a $m=y+1$: $$f(3-2m)+f(m)=\frac{3-m}{m-1}$$

Aquí supongo que $f(m)$ tiene la forma de $\frac{cm+d}{am+b}$ después de la investigación de la ecuación anterior

Esta suposición se basa principalmente en la experiencia más que la estricta prueba. Así que es posible que existen algunas soluciones donde $f(m)$ no está en este formulario.

Podemos reorganizar y aplicar la forma de la ecuación $$(m-1)((c(3-2m)+d)(am+b)+(cm+d)(a(3-2m))+b))=(3-m)(am+b)(a(3-2m)+b)$$ Esta es una larga ecuación. Pero también podemos específica el valor de m, ya que esta ecuación tiene para todos los de m.

Al $m=1$ $$LHS=0=-(a+b)^2=RHS$$ Podemos concluir que el $a=-b$

Al $m=3$, con el conocimiento de que $a=-b$ $$b(d+9c)=0$$ Debido a $b \ne 0$(si $b=0$, el denominador de $f(x)$ $0$ lo cual es imposible) ,por lo $d=-9c$

Aplicamos $a=-b$ $d=-9c$ a la ecuación original. $$f(3-2m)+f(m)=\frac{2cm-6c}{a(m-1)}=\frac{2m-3}{m-1}$$ Así $a=1$, $b=-1$, $c=-0.5$, $d=4.5$ Y una solución a su pregunta es $$f(x)=\frac{-0.5x+4.5}{x-1}$$

Answer 4

$f\left(\dfrac{x-3}{x+1}\right)+f\left(\dfrac{x+3}{x+1}\right)=x$

$f\left(1-\dfrac{4}{x+1}\right)+f\left(1+\dfrac{2}{x+1}\right)=x$

$f\left(1-\dfrac{4}{x}\right)+f\left(1+\dfrac{2}{x}\right)=x-1$

$f(1-2x)+f(1+x)=\dfrac{2}{x}-1$

$f(3-2x)+f(x)=\dfrac{2}{x-1}-1~......(1)$

$f(3-2(3-2x))+f(3-2x)=\dfrac{2}{3-2x-1}-1$

$f(4x-3)+f(3-2x)=-\dfrac{1}{x-1}-1~......(2)$

$(2)-(1)$ :

$f(4x-3)-f(x)=-\dfrac{3}{x-1}$

$f(4(4^x+1)-3)-f(4^x+1)=-\dfrac{3}{4^x+1-1}$

$f(4^{x+1}+1)-f(4^x+1)=-3\times4^{-x}$

$f(4^x+1)=\Theta(x)+4^{1-x}$ donde $\Theta(x)$ es arbitraria función periódica con período de la unidad de

$f(x)=\Theta(\log_4(x-1))+\dfrac{4}{x-1}$ donde $\Theta(x)$ es arbitraria función periódica con período de la unidad de